第二章导数及其应用§7导数的应用7.1实际问题中导数的意义~7.2实际问题中的最值问题课后篇巩固提升必备知识基础练1.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-13x3+4x+713,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A.3万件B.1万件C.2万件D.7万件答案C解析函数的导数y'=-x2+4=-(x-2)(x+2),由y'=0得x=2或x=-2(舍),当x>2时,y'<0,当0<x<2时,y'>0,即当x=2时,函数取得极大值,同时也是最大值,即该生产厂家获取最大年利润的年产量为2万件.2.已知正四棱锥S-ABCD中,SA=23,那么当该棱锥的体积最大时,它的底面积为()A.4B.8C.16D.32答案C解析设底面边长为a,则高h=SA2-(22a)2=12-a22,所以体积V=13a2h=1312a4-a62,设y=12a4-12a6,则y'=48a3-3a5,令y'=48a3-3a5=0,解得a=0(舍去)或a=4时,易知当a=4时,体积最大,此时底面面积为16.3.将周长为4的矩形ABCD绕直线AB旋转一周所得圆柱体积最大时,线段AB长为()A.43B.23C.13D.1答案B解析∵矩形ABCD的周长为4,设BC=x(0<x<2),则AB=2-x,∴将周长为4的矩形ABCD绕AB旋转一周所得圆柱的体积为V(x)=πx2(2-x)=π(2x2-x3)(0<x<2),则V'(x)=π(4x-3x2),令V'(x)=0,解得x=43,当0<x<43时,V'(x)>0,则V(x)单调递增,当43<x<2时,V'(x)<0,则V(x)单调递减,所以当x=43,即BC=43,AB=23时,V(x)取得最大值V43=32π27.故选B.4.某公司生产一种产品,固定成本为20000元,每生产一件产品,成本增加100元,若总收入R与月产量x(单位:件)的关系是R(x)=-x3900+400x,0≤x≤390,90090,x>390,则当总利润最大时,每月生产产品的件数是()A.150B.200C.250D.300答案D解析由题意得,总利润P(x)=-x3900+300x-20000,0≤x≤390,70090-100x,x>390,P'(x)=-x2300+300,0≤x≤390,-100,x>390,令P'(x)=0,得x=300,易知x=300是P(x)的最大值点,即当每月生产300件产品时,总利润最大.故选D.5.已知两个和为48的正整数,若第一个数的立方与第二个数的平方之和最小,则这两个正整数分别为.答案5与43解析设第一个数为x,则第二个数为(48-x),记y=x3+(48-x)2=x3+x2-96x+2304(0<x<48),所以y'=3x2+2x-96=(3x-16)(x+6).由y'=0,得x=163或x=-6(舍去),易知x=163是函数在区间(0,48)内唯一的极小值点,也是最小值点.但因为x是正整数,所以x=5.所以所求的两个正整数分别为5与43.6.电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y=13x3-392x2-40x(x>0),为使耗电量最小,则其速度应定为.答案40解析由题设知y'=x2-39x-40,令y'>0,解得x>40或x<-1,故函数y=13x3-392x2-40x(x>0)在[40,+∞)内单调递增,在(0,40]内单调递减.∴当x=40时,y取得最小值.所以为使耗电量最小,则其速度应定为40.7.某品牌电视机生产厂家有A,B两种型号的电视机参加了家电下乡活动,若厂家对A,B两种型号的电视机的投放金额分别为p万元和q万元,农民购买电视机获得的补贴分别为p10万元和25lnq万元.已知A,B两种型号的电视机的投放总金额为10万元,且A,B两种型号的电视机的投放金额均不低于1万元.请你制定一个投放方案,使得这次活动中农民得到的补贴最多,并求出最大值.(精确到0.1,参考数据:ln4≈1.4)解设B型号电视机的投放金额为x万元(1≤x≤9),则A型号电视机的投放金额为(10-x)万元,设这次活动中农民得到的补贴为y万元.由题意得y=110(10-x)+25lnx=25lnx-110x+1,则y'=25x-110.令y'=0,解得x=4.当x∈[1,4)时,y'>0,函数单调递增,当x∈(4,9]时,y'<0,函数单调递减.当x=4时,y取得最大值,ymax=25ln4-0.4+1≈1.2(万元).故当厂家投放A,B两种型号的电视机的金额分别是6万元和4万元时,农民得到的补贴最多,约为1.2万元.关键