第二章导数及其应用§3导数的计算课后篇巩固提升必备知识基础练1.若f'(x0)=-2,则limk→0f(x0-12k)-f(x0)k等于()A.-2B.-1C.2D.1答案D解析根据导数定义可知,limk→0f(x0-12k)-f(x0)k=-12limk→0f(x0-12k)-f(x0)-12k=-12f'(x0)=1,故选D.2.下列各式中正确的个数是()①(x7)'=7x6;②(x-1)'=x-2;③1x'=-12x-32;④(5x2)'=25x-35;⑤(cosx)'=-sinx;⑥(cos2)'=-sin2.A.3B.4C.5D.6答案B解析∵②(x-1)'=-x-2,⑥(cos2)'=0,∴②⑥不正确.故选B.3.若函数f(x)=cosx,则f'π4+fπ4的值为()A.0B.-1C.1D.2答案A解析f'(x)=-sinx,所以f'π4+fπ4=-sinπ4+cosπ4=0.4.已知f(x)=xa,若f'(1)=4,则a的值等于()A.4B.-4C.5D.-5答案A解析∵f'(x)=axa-1,f'(1)=a(1)a-1=4,∴a=4.5.函数y=f(x)=2x2+4x在x=3处的导数为.答案16解析f'(3)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→02(3+Δx)2+4(3+Δx)-(2×32+4×3)Δx=16.6.一做直线运动的物体,其位移s与时间t的关系是s=3t-t2,则物体的初速度是.答案3解析v初=s'(0)=limΔt→0s(0+Δt)-s(0)Δt=limΔt→0(3-Δt)=3.7.已知f(x)=1x,g(x)=mx,且g'(2)=1f'(2),则m=.答案-4解析由题得,f'(x)=-1x2,g'(x)=m.∵g'(2)=1f'(2),∴m=-4.8.设直线y=12x+b是曲线y1=lnx(x>0)的一条切线,则实数b的值为.答案ln2-1解析因为y1'=(lnx)'=1x,设切点为(x0,y0),由题意,得1x0=12,所以x0=2,y0=ln2,代入直线方程y=12x+b,得b=ln2-1.9.利用导数的定义求函数y=f(x)=x-2x的导数.解由导数定义,得Δy=f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)-2x+Δx-x-2x,∴ΔyΔx=1+2x(x+Δx),当Δx趋于0时,得到导数f'(x)=1+2x2.10.用求导数的公式求下列函数的导数.(1)y=x8;(2)y=4x;(3)y=log3x;(4)y=sinx+π2;(5)y=e2.解(1)y'=(x8)'=8x8-1=8x7.(2)y'=(4x)'=4xln4.(3)y'=(log3x)'=1xln3.(4)y'=sinx+π2'=(cosx)'=-sinx.(5)y'=(e2)'=0.关键能力提升练11.已知函数f(x)在x0处的导数为f'(x0),则limΔx→0f(x0)-f(x0-mΔx)Δx等于()A.mf'(x0)B.-mf'(x0)C.-1mf'(x0)D.1mf'(x0)答案A解析根据题意,limΔx→0f(x0)-f(x0-mΔx)Δx=mlimΔx→0f(x0)-f(x0-mΔx)mΔx=mf'(x0).12.已知曲线f(x)=x3在点(2,8)处的切线方程为y=kx+b,则k-b等于()A.4B.-4C.28D.-28答案C解析∵点(2,8)在切线上,∴2k+b=8,①又f'(x)=3x2,f'(2)=3×22=12=k,②由①②可得k=12,b=-16,∴k-b=28.13.设正弦曲线y=sinx上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角α的取值范围是()A.0,π4∪3π4,πB.[0,π)C.π4,3π4D.0,π4∪π2,3π4答案A解析∵(sinx)'=cosx,∴kl=cosx,∴-1≤kl≤1,∴α∈0,π4∪3π4,π.14.(多选题)以下运算正确的是()A.1x'=1x2B.(cosx)'=-sinxC.(2x)'=2xln2D.(tanx)'=1cos2x答案BCD解析1x'=-1x2,所以A不正确;因为(cosx)'=-sinx,故B正确;因为(2x)'=2xln2,所以C正确;因为(tanx)'=1cos2x,所以D正确.15.(多选题)已知曲线y=x3在点P处的切线斜率为k,则当k=3时的P点坐标为()A.(-1,1)B.(-1,-1)C.(1,1)D.(1,-1)答案BC解析由题得,y'=3x2,因为k=3,所以3x2=3,所以x=±1,则P点坐标为(-1,-1)或