第二章导数及其应用习题课导数的综合应用课后篇巩固提升必备知识基础练1.对任意的x∈R,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是()A.0≤a≤21B.a=0或a=7C.a<0或a>21D.a=0或a=21答案A解析f'(x)=3x2+2ax+7a,当Δ=4a2-84a≤0,即0≤a≤21时,f'(x)≥0恒成立,函数f(x)不存在极值点.2.已知函数f(x)=x-sinx,则不等式f(x+1)+f(2-2x)>0的解集是()A.-∞,-13B.-13,+∞C.(-∞,3)D.(3,+∞)答案C解析∵f(x)=x-sinx,∴f(-x)=-x+sinx=-f(x),即函数f(x)为奇函数,函数的导数f'(x)=1-cosx≥0,则函数f(x)是增函数,则不等式f(x+1)+f(2-2x)>0等价于f(x+1)>-f(2-2x)=f(2x-2),即x+1>2x-2,解得x<3,故不等式的解集为(-∞,3).3.已知f(x)=kx2+2x+2k在(1,2)内有极值点,则k的取值范围是()A.-1<k<-12B.k<-1或k>-12C.12<k<1D.k<12或k<1答案A解析f'(x)=2kx+2,由题意知f'(1)·f'(2)<0,即(2k+2)·(4k+2)<0,解得-1<k<-12.4.设函数f(x)=13sinθ·x3+32cosθ·x2+tanθ,其中θ∈0,5π12,则导数f'(1)的取值范围是.答案[2,2]解析因为f'(x)=sinθ·x2+3cosθ·x,所以f'(1)=sinθ+3cosθ=2sinθ+π3.因为0≤θ≤5π12,π3≤θ+π3≤3π4,所以22≤sinθ+π3≤1.故2≤f'(1)≤2.5.某厂生产某种商品x件的总成本c(x)=1200+275x3(单位:万元),已知产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,则产量定为件时,总利润最大.答案25解析设产品的单价为p万元,根据已知,可设p2=kx,其中k为比例系数.因为当x=100时,p=50,所以k=250000.所以p2=250000x,p=500x,x>0.设总利润为y万元,y=500x·x-1200-275x3=500x-275x3-1200,则y'=250x-225x2.令y'=0,得x=25.故当0<x<25时,y'>0,当x>25时,y'<0,所以,当x=25时,函数y取得极大值,也是最大值.6.设函数f(x)=exx.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若k>0,求不等式f'(x)+k(1-x)f(x)>0的解集.解(1)f'(x)=1xex-1x2ex=x-1x2ex.由f'(x)=0,得x=1.当x<0时,f'(x)<0;当0<x<1时,f'(x)<0;当x>1时,f'(x)>0.所以f(x)的单调递增区间是[1,+∞),单调递减区间是(-∞,0)和(0,1).(2)由f'(x)+k(1-x)f(x)=x-1+kx-kx2x2ex=(x-1)(-kx+1)x2·ex>0,得(x-1)(kx-1)<0.故当0<k<1时,解集是x1<x<1k;当k=1时,解集是⌀;当k>1时,解集是x1k<x<1.关键能力提升练7.已知函数f(x)=ex-ln(x+3),则下列有关描述正确的是()A.∀x∈(-3,+∞),f(x)≤13B.∀x∈(-3,+∞),f(x)>-12C.∃x0∈(-3,+∞),f(x0)=-1D.f(x)min∈(1,2)答案B解析∵f(x)=ex-ln(x+3),∴f'(x)=ex-1x+3,显然f'(x)在(-3,+∞)内单调递增,又f'(-1)=1e-12<0,f'(0)=23>0,∴f'(x)在(-3,+∞)上有唯一的零点,设为x0,且x0∈(-1,0),则x=x0为f(x)的极小值点,也是最小值点,且ex0=1x0+3,即x0=-ln(x0+3),故f(x)≥f(x0)=ex0-ln(x0+3)=1x0+3+x0>-12,故选B.8.已知函数f(x)满足ex(f'(x)+2f(x))=x,f12=122e,若对满足ab=32e的任意正数a,b都有f(2x)<1a+1b,则x的取值范围是()A.(-∞,-1)B.(-1,+∞)C.(0,1)D.(1,+∞)答案B解析根据题意,若ex[f'(x)+2f(x)]=x,则e2x(f'(x)+2f(x))=ex·x,即(e2xf(x))'=ex·x,设g(x)=e2xf(x),则f(x)=g(x)e2x,且g'(x)=e2x(f'(x)+2f(x))=ex·x,