第二章导数及其应用§1平均变化率与瞬时变化率1.1平均变化率~1.2瞬时变化率课后篇巩固提升必备知识基础练1.函数f(x)=5x-3在区间[a,b]上的平均变化率为()A.3B.4C.5D.6答案C解析平均变化率为f(b)-f(a)b-a=5(b-a)b-a=5.2.已知函数y=f(x)=x22+1的图象上一点1,32及邻近一点1+Δx,32+Δy,则ΔyΔx等于()A.1B.2ΔxC.1+Δx2D.32+(Δx)2答案C解析32+Δy=f(1+Δx)=(1+Δx)22+1=32+(Δx)22+Δx,∴Δy=(Δx)22+Δx,∴ΔyΔx=1+Δx2.3.在x=1附近,取Δx=0.3,在四个函数①y=x,②y=x2,③y=x3,④y=1x中,平均变化率最大的是()A.④B.③C.②D.①答案B解析根据平均变化率的定义计算可知,y=x3的平均变化率最大.4.如果某物体的运动函数为s=2×(1-t2)(s的单位为m,t的单位为s),那么其在1.2s末的瞬时速度为()A.-4.8m/sB.-0.88m/sC.0.88m/sD.4.8m/s答案A解析由题得,Δs=s(1.2+Δt)-s(1.2)=2×[1-(1.2+Δt)2]-2×(1-1.22)=-2(Δt)2-4.8Δt,则ΔsΔt=-2(Δt)2-4.8ΔtΔt=-2Δt-4.8.故当Δt趋于0时,ΔsΔt趋于-4.8,即物体在1.2s末的瞬时速度为-4.8m/s.5.已知y=f(x)=-x2+10,则y=f(x)在x=32处的瞬时变化率是()A.3B.-3C.2D.-2答案B解析∵ΔyΔx=f(32+Δx)-f(32)Δx=-Δx-3,当Δx趋于0时,ΔyΔx趋于-3.6.函数f(x)=lnx+1从e到e2的平均变化率为.答案1e2-e解析f(e2)-f(e)e2-e=(lne2+1)-(lne+1)e2-e=1e2-e.7.一物体的运动方程为s(t)=t2-3t+2,则其在t=时的瞬时速度为1.答案2解析设物体在t=t0时的瞬时速度为1,因为ΔsΔt=s(t0+Δt)-s(t0)Δt=(t0+Δt)2-3(t0+Δt)+2-(t02-3t0+2)Δt=2t0-3+Δt,当Δt趋于0时,2t0-3+Δt趋于2t0-3,∴2t0-3=1,解得t0=2.8.求函数y=f(x)=x2在x=1,2,3附近的平均变化率,取Δx都为13,哪一点附近的平均变化率最大?解在x=1附近的平均变化率为k1=f(1+Δx)-f(1)Δx=(1+Δx)2-1Δx=2+Δx;在x=2附近的平均变化率为k2=f(2+Δx)-f(2)Δx=(2+Δx)2-22Δx=4+Δx;在x=3附近的平均变化率为k3=f(3+Δx)-f(3)Δx=(3+Δx)2-32Δx=6+Δx.当Δx=13时,k1=2+13=73,k2=4+13=133,k3=6+13=193.由于k1<k2<k3,所以在x=3附近的平均变化率最大.9.枪弹在枪筒中的运动可以近似看作是匀加速直线运动,其路程(单位:m)与时间(单位:s)的关系式为s(t)=12at2,如果枪弹的加速度a=5×105m/s2,且当t=1.6×10-3s时,枪弹从枪口射出,求枪弹射出枪口时的瞬时速度.解∵s=12at2,∴ΔsΔt=12a(t+Δt)2-12at2Δt=at+12aΔt.当Δt趋于0时,at+12aΔt趋于at,由题意知,a=5×105m/s2,t=1.6×10-3s,∴at=8×102=800(m/s),即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.关键能力提升练10.物体的运动函数是s=-4t2+16t,在某一时刻的速度为零,则相应时刻为()A.t=1B.t=2C.t=3D.t=4答案B解析设在t时刻的速度为0,∴ΔsΔt=-4(t+Δt)2+16(t+Δt)-(-4t2+16t)Δt=-8t+16-4Δt,当Δt趋于0时,-8t+16-4Δt趋于-8t+16,由-8t+16=0,解得t=2.11.函数y=f(x)=x2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为k1,在[x0-Δx,x0]上的平均变化率为k2,则k1与k2的大小关系是()A.k1>k2B.k1<k2C.k1=k2D.k1与k2的大小关系不确定答案A解析∵函数y=f(x)=x2在区间[x0,x0+Δx]上的改变量为Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=(x0+Δx)2-(x0)2=Δx(2x0+Δx),∴k1=ΔyΔx=2x0+Δx.∵函数y=f(x)=x2在区间[x0-Δx,x0]上的改变量为Δy=f