金版新学(xīnxué)案最新版2014高二年级下学期新课标A版高中数学选修23随机变量及其分布241．了解正态曲线和正态分布的概念．2．认识正态曲线的特点及曲线所表示的意义．3．会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间(qūjiān)范围内的概率．200个产品尺寸的频率(pínlǜ)分布直方图若数据无限增多(zēnꞬduō)且组距无限缩小，那么频率分布直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们称此曲线为总体密度曲线．[问题(wèntí)]你知道正态曲线的函数解析式吗？正态曲线随机变量X落在区间(a，b]的概率为P(a<X≤b)≈______________________，即由正态曲线，过点(a,0)和点(b,0)的两条x轴的垂线(chuíxiàn)，及x轴所围成的平面图形的面积，就是X落在区间(a，b]的概率的近似值，如图．/如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足(mǎnzú)P(a<X≤b)＝______________________，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作__________________，如果随机变量X服从正态分布，则记为_______________．正态曲线的特点(tèdiǎn)(4)曲线与x轴之间的面积为_____；(5)当____一定时，曲线的位置由____确定，曲线随着μ的变化(biànhuà)而沿x轴平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ________，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ________，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．对参数μ，σ的理解(1)正态分布由参数μ，σ唯一确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．(2)参数μ是反映随机变量(suíjībiànliànꞬ)取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量(suíjībiànliànꞬ)总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．3σ原则(yuánzé)解析(jiěxī)：由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.答案：B//4．设随机变量(suíjībiànliànɡ)X～N(0,1)，求P(X≤0)，P(－2<X<2)．解析：对称轴X＝0，故P(X≤0)＝0.5，P(－2<X<2)＝P(0－2×1<X<0＋2×1)＝0.9544.正态曲线的方程(fāngchéng)及特征/////利用(lìyòng)正态分布的对称性求概率[规律方法]求在某个区间内取值的概率的方法：(1)利用X落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.6826,0.9544,0.9974求解；(2)充分利用正态曲线的对称性及面积(miànjī)为1的性质求解．①熟记正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等；②P(X＜a)＝1－P(X≥a)，P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)．特别提醒：在本节中，由于涉及到离散型随机变量的密度曲线，我们在解题时与曲线的图象巧妙(qiǎomiào)结合，抓住曲线的对称特征，会给解题带来很大的方便．2．(1)已知随机变量X服从(fúcóng)正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X>4)等于()A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585(2)设随机变量ξ服从(fúcóng)正态分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，则c等于()A．1B．2C．3D．4/(2)∵ξ～N(2,9)，∴P(ξ>c＋1)＝P(ξ<3－c)．又P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，∴3－c＝c－1，∴c＝2.答案(dáàn)：(1)B(2)B正态分布的实际(shíjì)应用解析：由于X服从(fúcóng)正态分布N(4,0.52)，由正态分布性质可知，正态分布N(4,0.52)在(4－3×0.5,4＋3×0.5)之外的概率只有0.0026，而5.7∉(2.5,5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，所以可以认为该批零件是不合格的．[规律方法]求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法：(1)根据(gēnjù)题目中给出的条件确定μ，σ的值；(2)将待求问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化；(3)利用上述区间求出相应的概率．3．某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70,102)，该年级有2000名学生，如果规定低于60分为不及格，求成绩不及格的学生约有多少(duōshǎo)人？解析：设学生的得分为随机变量X，X～N(70,10