金新学(xīnxué)案高二年级下学期新课标A高中数学选修章末高效整合/[说明](1)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)是一个常数，而函数y＝f(x)在一个区间上的导数指的是这个函数在这个区间上每点处的导数构成的一个函数，它实际上是“导函数”的简称；(2)函数y＝f(x)和它的导数y′＝f′(x)具有相同的定义域，并且y′＝f′(x)在定义域上点x0处的函数值就是函数y＝f(x)在点x0处的导数值，这样求函数在点x0处的导数值就可以先求出这个函数的导数，再求这个导数在点x0处的函数值；(3)并不是所有的函数在其定义域上每一点(yīdiǎn)处都有导数，如函数y＝|x|在点0处就没有导数，但这个函数在定义域的其他点处都有导数．2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．利用导数的几何意义求切线方程的关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型(lèixíng)有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型(lèixíng)中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)．①又y1＝f(x1)，②由①②求出x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线(qiēxiàn)方程．//3．复合函数的求导法则设复合函数μ＝g(x)在点x处可导，y＝f(μ)在点μ处可导，则复合函数f[g(x)]在点x处可导，且f′(x)＝f′(μ)·g′(x)，即yx′＝yμ′·μx′.利用复合函数求导法则求导后，要把中间变量换成自变量．[说明]求导数时，先化简再求导是导数计算的基本原则．一般(yībān)情况下，有四类函数求导数在解题时较容易出错，需要特别注意，即分式函数、对数函数、三角函数和复合函数．三、导数的应用1．导数与函数的单调(dāndiào)性(1)在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调(dāndiào)递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调(dāndiào)递减．[说明]f′(x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调(dāndiào)递增，但f′(x)≥0，∴f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件．(2)利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用(yìngyòng)之一，其步骤为：①求导数f′(x)；②解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；③确定并指出函数的单调增区间、减区间．特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．2．导数与函数的极值和最值函数的极值反映的是函数在某一点附近的局部性，而不是函数在整个定义域内的性质；函数的最值是个整体性概念(gàiniàn)，最大值必是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必是整个区间上的所有函数值中的最小值．(1)应用导数求函数极值的一般步骤：①确定函数f(x)的定义域；②解方程f′(x)＝0的根；③检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；否则，此根不是f(x)的极值点．[说明]可导函数的极值点必须是导数(dǎoshù)为0的点，但导数(dǎoshù)为0的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y＝x3在x＝0处有y′|x＝0＝0，但x＝0不是极值点．此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点．(2)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤(bùzhòu)：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将①求得的极值与f(a)，f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．四、定积分1．求定积分求导运算与求原函数运算互为逆运算，求定积分的关键(guānjiàn)是要找到被积函数的原函数．为避免出错在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证．2．利用定积分求平面图形的面积将求平面图形的面积转化为定积分运算时，必须确定的是被积函数，积