习题四1、在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽验N个人的血，可以用两种方法进行。（1）将每个人的血分别检验，这就需要验N次；（2）按k个人一组进行分组，把从k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果这混合血液呈阴性反应，就说明这k个人的血都呈阴性反应，这样，这k个人的血就只需验一次。若呈阳性，则再对这k个人的血分别进行化验。这样，k个人的血总共要化验k+1次。假设每个人的血呈阳性的概率为p，且这些人的试验反应是相互独立的。试说明当p较小时，选取适当的k，按第二种方法可以减少化验的次数。并说明当k取什么值时最适宜？2、人群中有健康人和病人两类，病人可以通过与健康人接触将疾病传染给健康人。任何两人之间的接触是随机的，当健康人与病人接触时是否被感染也是随机的。如果通过实际数据或经验掌握了这些随机规律，试估计平均每天有多少健康人被感染。3、某商店要订购一批商品零售，设购进价，售出价，订购费（与数量无关）。随机需求量r的概率密度为p(r)，每件商品的贮存费为（与时间无关）。问如何确定订购量才能使商店的平均利润最大。这个平均利润是多少？为使这个平均利润为正值，需要对订购费加什么限制？4、若零件寿命服从指数分布，证明不存在预防性更换策略。又问，若失效率r(t)为减函数，是否会存在预防性更换策略？5、用连续热轧方法制造钢材时要经过两道工序，第一道是粗轧（热轧），形成钢材的雏形；第二道是精轧（冷轧），得到规定长度的钢材。粗轧时由于设备，环境等方面随机因素的影响，钢材冷却后的长度大致上呈正态分布，其均值可以在轧制过程中由轧机调整，而其均方差则是由设备的精确度决定的，不能随意改变。精轧时把多出规定的部分切掉，但是如果发现粗轧后的钢材已经比规定长度短，则整根报废。精轧设备精度很高，可以认为轧出的成品材完全符合规定长度要求。根据轧制工艺的要求，要在成品材规定长度和粗轧后钢材长度的均方差已知的条件下，确定粗轧后的均值，使得当轧机调整到进行粗轧，再精轧后得到成品材时的浪费最少。pxP(x)06、若上题中钢材粗轧后，长度在之间时降级使用（比如经济价值上每一根降级材相当于根成品材）。长度小于才整根报废。试选用合适的目标函数建立优化模型，使某种意义下的浪费量最小。7、某种水泥在凝固时放出的热量Y(卡/克)与其中的四种化学成分X1，X2，X3，X4有关，现有13个水泥样品的样本数据列于下表：序号X1X2X3X4Y172666078.52129155274.331156820104.34113184787.6575263395.961155922109.27371176102.78131224472.59254182293.1102147426115.911140233483.8121166912113.3131068812109.4试建立Y关于X1，X2，X3，X4的线性回归方程。8、在甲乙两地区监测得到Fe浓度X1和飘尘浓度X2如下表所示：甲X14.35.64.74.85.34.14.04.6X215.717.816.916.317.216.015.816.2乙X19.69.38.78.89.59.28.5X219.619.918.618.919.619.018.5这两个地区的大气质量代表了大气环境的两个类型G1和G2。今在丙、丁两个地区测出Fe浓度X1和飘尘浓度X2分别为（5.6,18.1）和（8.2,17.9）的样本，试确定丙、丁两个地区的大气环境类型。9、在第7题中，试以X1，X2，X3，X4为指标，对这13个水泥样品进行分类，你认为应该分成几类比较合理？分类结果与Y的值有什么关系？