§3.4基本不等式3.4基本不等式创设情境、创设情境、体会感知：三国时期吴国的数学家赵爽三国时期吴国的数学家赵爽2002年国际数学家大会会标2002年国际数学家大会会标一、探究思考：思考：这会标中含有怎样的几何图形？怎样的几何图形？思考：思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？关系或不等关系？在正方形ABCDABCD中问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,则正方形的面积为S=则AB=a+b则正方形的面积为S=a+b。2222Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角它们的面积总和是S=2ab形，它们的面积总和是S’=―――观察图形S问3：观察图形S与S’有什么样的大小有什么样的大小D关系？易得，关系？易得，s>s,即s’,a+b>2ab22HEc=a2+b2GC那么它们有相等的情况吗？问4：那么它们有相等的情况吗？A何时相等？何时相等？abFB变化的弦图问5：当a,b为任意实数时，2+b2≥2a?ba,b为任意实数时，为任意实数时a还成立吗？还成立吗？结论：一般地，对于任意实数a结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有22a+b≥2a?b当且仅当a=b时当且仅当a=b时，等号成立a=b此不等式称为重要不等式此不等式称为重要不等式二、新课讲解1.思考:1.思考:如果用a,b去替换a+b≥2ab中的a,b,思考能得到什么结论?必须要满足什么条件?能得到什么结论?a,b必须要满足什么条件?22a+bab≤(a>0,b>0)2（当且仅当a=b时，等号成立）当且仅当时等号成立）几何平均数算术平均数基本不等式2.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数代数意义：代数意义2.代数证明:3.几何意义：半弦长小于等于半径几何意义：几何意义3.几何证明:从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的从数列角度看两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项重要不等式：重要不等式：2+b2a≥2ab(a、b∈R）当且仅当a=b时，等号成立.时等号成立当且仅当基本不等式：基本不等式：a+bab≤(a>0,b>0)2当且仅当a时等号成立.当且仅当=b时，等号成立注意：注意：适用范围不同（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。）不同点：两个不等式的适用范围不同。（2）相同点：当且仅当）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。时等号成立。三、应用发现运算结构，发现运算结构，应用不等式a+b（a>0,b>0）ab≤2a+b≥2aba>0,b>0）（1的最小值.例1、若x>0,求y=x+的最小值、求x12变1:若x>0,求y=3x+若的最小值xba的最小值.变2:若a>0,b>0,求y=+的最小值若求ab在结论成立的基础上,条件可以变化吗？问:在结论成立的基础上条件“a>0,b>0”可以变化吗？在结论成立的基础上可以变化吗1的最小值.变3:若x>3,求y=x+若求的最小值x?3构造条件三、应用发现运算结构，发现运算结构，应用不等式?a+b?ab≤??（a>0,b>0）?2?2a+bab≤（a>0,b>0）2的最大值.例2、已知0<x<1,求函数y=x(1?x)的最大值、求函数1变式:已知的最大值.变式已知0<x<,求函数y=x(1?2x)的最大值求函数2应用要点：应用要点：一正二定三相等用篱笆围成一个面积为100100m例3：（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？篱笆最短。最短的篱笆是多少？设矩形菜园的长为xm，宽为ym，解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，x+y∴x+y≥2100,Q≥xy22(x+y)≥40等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.x=y时成立因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最因此，这个矩形的长、宽都为10m时10m最短的篱笆是40m.短，最短的篱笆是40m.xy=100，篱笆的长为2x+y）则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.结论1两个正变量积为定值，和有最小值，结论1：两个正变量积为定值，则和有最小值，积为定值当且仅当两值相等时取最值。当且仅当两值相等时取最值。（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形