课后导练基础达标1在以下四个命题中，真命题是（）①在一个平面内有两点到另一个平面的距离相等都是d(d＞0)，则这两个平面平行②在一个平面内有三点到另一个平面的距离都是d(d＞0)，则这两个平面平行③在一个平面内有无数个点到另一个平面的距离都是d(d＞0)，则这两个平面平行④一个平面内任意一点到另一个平面的距离都是d(d＞0)，则这两个平面平行A.②③④B.④C.②③D.②④解析：命题①中的两点无论在另一个平面的同侧还是异侧，这两个平面均有可能相交.所以①是错误的；同理可知②③均错.只有④正确.答案：B2平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β的关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．不确定解析：若三点在β的同侧，则α∥β,否则相交，应选D.答案：D3设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面α、β．对于下面四种情况可能的情况有（）①b∥α②b⊥α③a∥β④α与β相交A．1种B．2种C．3种D．4种解析：对于②来说，若b⊥α,又∵aα,∴b⊥a与a，b不垂直矛盾，∴②错.答案：C4已知平面α∥β，直线a∥α，点B∈β，则在β内过B的所有直线中（）A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.存在唯一的直线与a平行解析：若aβ,且B∈a,此时，不存在.若Ba,此时存在唯一直线与a平行.答案：A5已知α∩β=c,a∥α,a∥β，则a与c的位置关系是_______________解析：a∥α,a∥β,α∩β=c,则a∥c(前面已证).答案：平行6直线a∥b,a∥平面α,则b与平面α的位置关系是_______________解析：当直线b在平面α外时，b∥α;当直线b在平面α内时，bα.答案：b∥α或b∩α7a∥α,A是α的另一侧的点，B、C、D∈α,线段AB、AC、AD交α于E、F、G，若BD=4，CF=4，AF=5，则EG=__________.（如图）解析：∵a∥α,EG=α∩平面ABD，∴a∥EG,即BD∥EG.∴则EG=.答案：8已知:α∩β=l,aα,bβ,a∥b，求证：a∥b∥l.证明：∵a∥b,bβ,aβ,由线面平行的判定定理知a∥β.又知aα,α∩β=l,由线面平行的性质知,a∥l,∴a∥b∥l.综合应用9如右图，四边形ABCD是矩形，P平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于点F.求证：四边形BCFE是梯形.证明：在矩形ABCD中，BC∥AD,又∵BC面PAD，AD面PAD，∴BC∥面PAD.又面BC面BCFE，且面BCFE∩面PAD=EF,∴EF∥BC,又BCAD,EF≠AD,∴EF≠BC,故四边形BCFE为梯形.10已知:AB、CD为异面线段，E、F分别为AC、BD的中点，过E、F作平面α∥AB.求证：CD∥α.证明：如图，连结AD交面α于点H，连结EH，FH,∵AB∥α,AB面ABD，且面ABD∩α=FH,∴AB∥HF.又∵F为BD中点,∴H为AD中点，又E为AC中点，∴EH∥CD,又∵EH面α,CD面α，故CD∥α.11如图,P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点,平面PAD∩平面PBC＝l.(1)求证:BC∥l;(2)MN与平面PAD是否平行?试证明你的结论.证明：（1）在ABCD中，BC∥AD,BC面PAD，AD面PAD，∴BC∥面PAD.又面PAD∩面PBC=l,且BC面PBC，故BC∥l.（2）MN∥平面PAD.证明如下，取PD中点E，连AE，NE；∵N是PC中点，∴NECD,又M为AB的中点，∴AMDC,∴AMNE,∴AE∥MN.又∵AE面PAD，MN面PAD,∴MN∥面PAD.拓展探究12如图，已知空间四边形ABCD，作一截面EFGH，且E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上.(1)若平面EFGH与AB、CD都平行，求证：EFGH是平行四边形；(2)若平面EFGH与AB、CD都平行，且CD⊥AB，求证：EFGH是矩形；(3)若EFGH与AB、CD都平行，且CD⊥AB，CD=a,AB=b,问点E在什么位置时，EFGH的面积最大？(1)证明：∵AB∥面EFGH,AB面ABD，面ABD∩面EFGH=EH，∴AB∥EH.同理可证AB∥GF，∴GF∥EH.又∵CD∥面EFGH，同理可证EF∥GH.故四边形EFGH是平行四边形.（2）证明：由（1）知，AB∥EH,CD∥EF,又∵CD⊥AB,∴EF⊥EH,故EFGH为矩形.（3）解：设BE=x,由上知,∴·b,EF=·a.∴S矩形EFGH=EF·EH=