第三章解线性方程组的直接方法§1引言§2高斯消去法§3选主元素的高斯消去法§4矩阵的三角分解§5解三对角线方程组的追赶法§6解对称正定矩阵方程组的平方根法§1引言矩阵的特征值和谱半径特征值的性质及特征多项式对称正定矩阵初等矩阵初等置换矩阵初等下三角阵（Gauss变换矩阵）Household变换（初等反射矩阵）§2高斯消去法高斯消去法是一个古老的求解线性方程组的方法，但由它改进得到的选主元的高斯消去法则是目前计算机上常用的解低阶稠密矩阵方程组的有效方法。例1用高斯消去法解方程组解第1步：将方程（2.1）乘上（-3/2）加到方程（2.2）将方程（2.1）乘上（-1/2）加到方程（2.3）则得到与原方程等价的方程组若用矩阵来描述消去法的约化过程，即为这种求解过程，称为具有回代的高斯消去法。从上例看出，用高斯法解方程组的基本思想是用矩阵的初等变换将系数矩阵约化为具有简单形式的矩阵（上三角矩阵，单位矩阵等），从而容易求解。下面讨论求解一般线形方程组的高斯消去法，设有n个未知数的线性方程组：引进记号为了讨论方便，记假设为非奇异矩阵（即设)。第1步（k=1）：设计算乘数用乘上（2.7）第一个方程，加到第i个中方程上去，即施行行初等变换：(2.9)第k步：继续上述消去过程，设第1步至第k-1步计算已经完成，得到与原方程组等价的方程组。重复上述约化过程，即且设，共完成n-1步消元计算，得到与原方程组（2.7）等价的三角形方程组定理1（高斯消去法）设其中如果约化的主元素则可通过高斯消去法（不进行交换两行的初等变换）将方程组约化为三角形矩阵方程组（2.13），且消元和求解公式为：1.消元计算2.回代计算下面比较用高斯消去法和用克莱姆（Cramer）法则解20阶方程组的计算量。在计算机上用高斯消去法解低阶稠密矩阵线性方程组时要注意几点:(1)要用一个二维数组A(n,n)存放系数矩阵A的元素，用一维数组b(n)存放常数项b向量；(2)需要输入的数据：A，b，n(3)约化的中间结果元素冲掉A元素，冲掉b，乘数冲掉。例题：用Gauss消去法解方程组并求其系数矩阵行列式的值。消去法与三角分解解精确解为[方法1]：用高斯消去法求解(用具有舍入的6位浮点数进行运算)回代求解。对于用具有舍入的6位浮点数进行运算，这是一个很好的计算结果。方法1计算失败的原因，是用了一个绝对值很小的数作除数，乘数很大，引起约化中间结果数量很严重增长，再舍入就使得结果不可靠了。在采用高斯消去法解方程组时，小主元可能导致计算失败，故在消去法中应避免采用绝对值很小的主元素。对一般方程组，需要引进选主元的技巧，即在高斯消去法的每一步应该选取系数矩阵或消元后的低阶矩阵中选取绝对值最大的元素作为主元素，保持乘数以便减少计算过程中舍入误差对计算解的影响；对同一个数值问题，用不同的计算方法，得到的结果的精度大不一样，一个计算方法，如果用此方法的计算过程中舍入误差得到控制，对计算结果影响较小，称此方法为数值稳定的；如果用此计算方法的计算过程中舍入误差增长迅速，计算结果受舍入误差影响较大，称此方法为数值不稳定。解数值问题时，应选择和使用数值稳定的计算方法，否则，如果使用数值不稳定的计算方法去解数值计算问题，就可能导致计算失败。3.1完全主元素消去法设有线性方程组其中A为非奇异矩阵。方程组的增广矩阵为再交换[A，b]的第1行与第行元素，交换A的第1列与第列元素(相当于交换未知数与)，将调到(1，1)位置(交换后为简单起见增广阵仍记为[A，b]，其元素仍记为)然后，进行消元计算。第k步选主元区域（2）如果；则交换[A,b]第k行与第行元素，若，则交换A的第k列与第列元素。（3）消元计算（4）回代求解。经过上面的过程，即从第1步到n-1步完成选主元，交换两行，交换两列，消元计算，原方程组约化为其中为未知数调换后的次序。回代求解第k步选主元区域（5）回代计算：解精确解为（舍入值）：否否否用完全主元素法解，可用一整型数组开始记录未知数次序即，最后记录调整后未知数的足标。系数矩阵A存放在二维数组内，常数项b存放在内，解存放在数组内。§4矩阵的三角分解现用矩阵理论来研究高斯消去法，设约化主元素由于对A施行行的初等变换相当于用初等矩阵左乘于A，高斯消去法第1步：对应有其中第k步消元过程：对应有其中利用递推公式（4.1）,则有由（4.2）式得到L为由乘数构成的单位下三角阵，U为上三角阵，（4.3）式表明,用矩阵理论来分析高斯消去法,得到一个重要结果,即在条件下,高斯消去法实质上是将A分解为两个三角矩阵的乘积A=LU。二、矩阵三