第五章波色系统：波色-爱因斯坦凝聚大V极限下的易逸度z：右图1为比容物态方程的图形解，图2展示固定v时z和的关系。对宏观系统来说我们更关心体积V趋于无穷大的极限情形。由上面的图形解可知在大V极限下我们有：填布数与温度和比容的关系（大V极限下）：利用和上面的结果可得：粒子在动量空间里凝聚。T=0时所有粒子都占据p=0态。物态方程：压强方程中的第二项可忽略，因它最多是的量级，对大系统可忽略。因此物态方程为物态方程在连续，但其导数不连续，因此相变为一级相变。其它热力学量：应分为两段讨论，如内能：熵：定容比热：在T=0附近我们有这与光子和声子的行为不同，原因是它们的能谱不同。而在处比热是连续的（因发散），比热的导数不连续。5.2非理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚每个粒子的自由能为：压强可由自由能得到：注意到对理想波色气体有：作近似后可得：因此这个相变在当前的近似下是二级相变。在一级近似下，系统能量的推导：以填布数表示的波色系统对称波函数可写为（P表示置换操作）：因此我们需要先从N个粒子里取出一对粒子再做置换，其方法数为：于是上面可化为：利用可以发现于是5.3波色-爱因斯坦凝聚实验的基本原理5.4简谐势阱中理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚下面考虑在低温下粒子在能级的分布。设温度为T，粒子数为N，其中占据最低能级的粒子数为发生凝聚时，和N在相同的数量级。这个要求在化学势与最低能级相等时达到。这时当和势阱里原子数很多时，我们可以把上面的求和换为积分，结果为上式令即可得波色-爱因斯坦凝聚的相变温度：再代入到原式中可得这与均匀空间波色-爱因斯坦凝聚的结果不同。在简谐势情况下，由于空间不均匀，热力学极限取为：这样在取极限时相变温度不变。5.5简谐势阱中非理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚这样场算符可以写为两部分（C数和算符部分）：推广到空间非均匀和与时间有关的情形，我们令：这里是围绕平均值的量子和热涨落（一个小量），代表凝聚部分的密度。带入到上面的方程即得（GP方程）：解的情况：（一）。排斥势：当是各向同性简谐势，且粒子间有弱排斥作用；或是部分各向异性即且粒子间有弱排斥作用时，数值计算表明凝聚体的波函数变宽，形状偏离高斯分布。对后者来说，在谐振频率最小的方向，变宽的程度最大。考虑各向异性势阱：在两种极限条件下可以解析求解，记(1)当时，粒子间无相互作用；(2)在强排斥力极限下，相当于很大时，可忽略动能项。具体可见杨展如书106-107页。（二）。吸引势：在均匀空间中，系统不可能出现凝聚，其激发谱的有些模会使激发能变为虚数，导致系统不稳定；在简谐势里，只要粒子数不超过某个临界值，则可能零点能超过吸引势能，使凝聚体保持稳定！考虑各向同性简谐势，可把凝聚体能量写为：对求变分即得解。利用近似波函数我们发现由右图知时曲线不出现极小值，不能产生凝聚。5.6波色-爱因斯坦凝聚的序参量和判据当r=|x-y|→∞时，上式中的积分为零。因此在这个极限下与空间位置无关。物理意义：在系统里存在着恒定密度的零动量粒子。这正是波色-爱因斯坦凝聚存在的标志。有相互作用的系统：单粒子动量不是一个好量子数，与哈密顿量不对易，上面的计算不适用。Penrose和Onsager建议采用下列波色-爱因斯坦凝聚存在的一般判据:这里为序参量，若则说明存在动量空间的有序，即波色-爱因斯坦凝聚。这时非对角矩阵也必定不为零。非零序参量的出现表征系统中出现了“对称破缺”。哈密顿量为：其中上面最后一式里我们已经略去了涨落算符二次方以上的项。由上可知粒子数密度为：故总粒子数为：而实际是一个C数。由此我们可写出涨落算符的动力学方程（海森堡方程）：把的表达式带入，可得：方程求解：把涨落算符用一套简正模集合来展开（波戈留波夫变换）：同时令并设遵守等时波色对易关系。带入到方程中得：解之即得和相关的本征值。相应地，通过上面的展开式也可简单地表示成：即可用假想的波色粒子的湮灭和产生算符来表达，它是能量为的各种假想的无相互作用的波色粒子的能量之和，这种粒子称为准粒子。5.1节正常相热力学公式的推导定容比热：取正则系综，由定义有