6.3z变换拉氏变换是研究线性定常连续系统的基本数学工具，而z变换则是研究线性定常离散系统的基本数学工具。z变换是在离散信号拉氏变换基础上，经过变量代换引申出来的一种变换方法。6.3.1z变换定义对式(6-2)进行拉氏变换，有∞∞E**()[()]s==Let∑∑e()[(nTLδt−=nT)]e()nTe−nsT(6-15)nn==00式中，e−Ts是s的超越函数，直接运算不方便，为此引入变量ze=Ts（6-16）式中，T为采样周期。将式(6-16)代入式(6-15)，就得到以z为自变量的函数∞*−nE()()z=Es1=e()nTz(6-17)s=lnz∑Tn=0定义E()z为采样信号e*()t的z变换。z变换定义式（6-17）有明确的物理意义，即变量z−n的系数代表连续时间函数et()在采样时刻nT上的采样值。有时也将E()z记为Ez()=Zet[*()]=Zet[()]=ZEs[()](6-18)这些都表示对离散信号e*()t的z变换。6.3.2z变换方法常用的z变换方法有级数求和法、部分分式法和留数法。1.级数求和法根据z变换的定义，将连续信号e()t按周期T进行采样，将采样点处的值代入式（6-17），可得E()z的级数展开式−1−2−nE(z)=e(0)+e(T)z+e(2T)z+L+e()nTz+L这种级数展开式是开放式的，若不能写成闭合形式，实际应用就不太方便。例6-1对连续时间函数⎧at(t≥0)e()t=⎨⎩0(t<0)按周期T=1进行采样，可得242⎧an(n≥0)e()n=⎨⎩0(n<0)试求E()z。解按式(6-17)z变换的定义∞∞−n−1n−1−12−13E()z=∑e()nTz=∑()1az=+az+()()az+az+Ln=0n=0若z>a，则无穷级数是收敛的，利用等比级数求和公式，可得其闭合形式为n1zEz()==Za[]=()z>a1−−az−1za2．部分分式法（查表法）已知连续信号e()t的拉氏变换E()s，将E()s展开成部分分式之和，即E()()()()s=E1s+E2s+L+Ens且每一个部分分式，都是变换表中所对应的标准函数，其变换即Ei(s),i=1,2,Lnzz可查表得出E()()()()z=E1z+E2z+L+Enz例6-2已知连续函数的拉氏变换为s+2E()s=s2(s+1)试求相应的z变换E()z。解将E()s展成部分分式，得211E()s=−+s2ss+1对上式逐项查z变换表，可得2TzzzE()z=−+(z−1)2z−1z−e−T(2T+e−T−1)z2+[1−e−T(2T+1)]z=(z−1)2(z−e−T)常用函数的z变换表见附录中的附表A-2。由该表可见，这些函数的z变换都是z的有理分式。3.留数法（反演积分法）若已知连续信号的拉氏变换和它的全部极点，，可用下列留et()E()ssii=1,2,Ll数计算公式求et()的采样序列et*()的z变换Ez*()243l⎡z⎤Ez()=Res()Es(6-19)∑⎢ze−Ts⎥i=1⎣⎦s→si若si为单极点时，则有⎡zz⎤⎡⎤ResEs()=−lim(ss)Es()(6-20)⎢Ts⎥⎢iTs⎥ze−−ss→ize⎣⎦⎣ss→i⎦若si为m重极点时，则⎡⎤zd1m−1⎡z⎤ResEs()=−lim(ss)mEs()(6-21)⎢⎥Tsm−1⎢iTs⎥z−−emdsz(1)!ss→i−e⎣⎦ss→i⎣⎦ss(2+3)例6-3已知Es()=，试求相应的z变换E()z。(1)(2)ss++2解E()s的极点为s1,2=−1（二重极点），s3=−2，则21−1d⎡2ss(23)+z⎤Ez()=+lim21−⎢(s1)2Ts⎥(2−+1)!s→−1dsssz⎣(1)(+2)−e⎦⎡⎤ss(2+3)z++lim⎢⎥(s2)2Tss→−2⎣⎦(1)(2)ssze++−−Tze−T2=+zz()−−e−−TT22ze6.3.3z变换基本定理应用z变换的基本定理，可以使z变换的应用变得简单方便。下面介绍常用的z变换定理。1.线性定理若E1(z)=Z[e1(t)],E2(z)=Z[e2(t)],,ab为常数，则Z[ae1(t)±be2(t)]=aE1(z)±bE2(z)(6-22)证明由z变换定义，有∞−nZ[ae1(t)±be2(t)]=∑[ae1(nT)±be2(nT)]zn=0∞∞−n−n=a∑e1()nTz±