1.3.3最大值与最小值明目标、知重点1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．1．函数在闭区间[a，b]上的最值函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在闭区间[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．2．在闭区间求函数最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值，(2)将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．3．函数在开区间(a，b)内的最值在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值．4．极值与最值的意义(1)最值是在区间[a，b]上的函数值相比较最大(小)的值；(2)极值是在区间[a，b]上的某一个数值x0附近相比较最大(小)的值．[情境导学]极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小？函数的极值与最值有怎样的关系？这就是本节我们要研究的问题．探究点一求函数的最值思考1如图，观察区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？答f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数y＝f(x)的极小值；f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数y＝f(x)的极大值．思考2观察思考1的函数y＝f(x)，你能找出函数f(x)在区间[a，b]上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？由此你得到什么结论？答函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是f(a)，最小值是f(x3)．若区间改为(a，b)，则f(x)有最小值f(x3)，无最大值．小结一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，且最值必在端点处或极值点处取得．思考3函数的极值和最值有什么区别和联系？答函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较取得极值附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间(a，b)上若存在最值，则必是极值．小结求一个函数在闭区间上的最值步骤：1．求导，确定函数在闭区间上的极值点．2．求出函数的各个极值和端点处的函数值．3．比较大小，确定结论．例1求下列函数的最值：(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；(2)f(x)＝eq\f(1,2)x＋sinx，x∈[0,2π]．解(1)f(x)＝2x3－12x，∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋eq\r(2))(x－eq\r(2))，令f′(x)＝0，解得x＝－eq\r(2)或x＝eq\r(2).当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－eq\r(2))－eq\r(2)(－eq\r(2)，eq\r(2))eq\r(2)(eq\r(2)，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－eq\r(2))，(eq\r(2)，＋∞)，单调递减区间为(－eq\r(2)，eq\r(2))．因为f(－2)＝8，f(3)＝18，f(eq\r(2))＝－8eq\r(2)，f(－eq\r(2))＝8eq\r(2)；所以当x＝eq\r(2)时，f(x)取得最小值－8eq\r(2)；当x＝3时，f(x)取得最大值18.(2)f′(x)＝eq\f(1,2)＋cosx，令f′(x)＝0，又x∈[0,2π]，解得x＝eq\f(2,3)π或x＝eq\f(4,3)π.计算得f(0)＝0，f(2π)＝π，f(eq\f(2,3)π)＝eq\f(π,3)＋eq\f(\r(3),2)，f(eq\f(4,3)π)＝eq\f(2,3)π－eq\f(\r(3),2).∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.反思与感悟(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得．①求出导数为零的点．②比较这些点与端点处函数值的大