1.1.1平均变化率明目标、知重点1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题．1．平均变化率一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为eq\f(fx2－fx1,x2－x1).2．曲线陡峭程度平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．[情境导学]某市2013年5月30日最高气温是33.4℃，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2013年4月28日最高气温3.5℃和5月28日最高气温18.6℃进行比较，可以发现二者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃，而人们却不会发出上述感叹，这是什么原因呢？显然，原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化的快与慢呢？探究点一函数的平均变化率思考1如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？答如图，表示A、B之间的曲线和B、C之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜率来量化．如用比值eq\f(yC－yB,xC－xB)近似量化B、C这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在[xB，xC]上的平均变化率．思考2什么是平均变化率，平均变化率有何作用？答如果问题中的函数关系用y＝f(x)表示，那么问题中的变化率可用式子eq\f(fx2－fx1,x2－x1)表示，我们把这个式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢．例1某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．解从出生到第3个月，婴儿体重的平均变化率为eq\f(6.5－3.5,3－0)＝1(千克/月)，从第6个月到第12个月，婴儿体重的平均变化率为eq\f(11－8.6,12－6)＝eq\f(2.4,6)＝0.4(千克/月)．反思与感悟求函数f(x)的平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)；(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1；(3)得平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).跟踪训练1如图是函数y＝f(x)的图象，则(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；(2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．答案(1)eq\f(1,2)(2)eq\f(3,4)解析(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为eq\f(f1－f－1,1－－1)＝eq\f(2－1,2)＝eq\f(1,2).(2)由函数f(x)的图象知，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,2)，－1≤x≤1,x＋1，1<x≤3)).所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为eq\f(f2－f0,2－0)＝eq\f(3－\f(3,2),2)＝eq\f(3,4).探究点二求函数的平均变化率例2已知函数f(x)＝x2，分别计算函数f(x)在下列区间上的平均变化率；(1)[1,3]；(2)[1,2]；(3)[1,1.1]；(4)[1,1.001]．解(1)函数f(x)在[1,3]上的平均变化率为eq\f(f3－f1,3－1)＝eq\f(32－12,2)＝4；(2)函数f(x)在[1,2]上的平均变化率为eq\f(f2－f1,2－1)＝eq\f(22－12,1)＝3；(3)函数f(x)在[1,1.1]上的平均变化率为eq\f(f1.1－f1,1.1－1)＝eq\f(1.12－12,0.1)＝2.1；(4)函数f(x)在[1,1.001]上的平均变化率为eq\f(f1.001－f1,1.001－1)＝eq\f(1.0012－12,0.001)＝2.001.反思与感悟函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，自变量的改变量Δx取值越小，越能准确体现函数的变化情况．跟踪训练2分别求函数f(x)＝1－3x在自变量x从0变到1和从m变到n(m≠n)时的平均变化率．解自变量x从0变到1时，函数f(x)的平均变化率为eq\f(1－3×1－1－0,1－0)＝－3；自变量x从m变到n(m≠n)