【创新设计】2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用章末复习课苏教版选修2-2题型一用导数求曲线的切线方程利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由eq\f(y0－y1,x0－x1)＝f′(x1)和y1＝f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一种类型．例1已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．解函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－eq\f(a,x).(1)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－eq\f(2,x)(x>0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.(2)由f′(x)＝1－eq\f(a,x)＝eq\f(x－a,x)，x>0知：①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.又当x∈(0，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．跟踪训练1已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若l与圆C：x2＋y2＝eq\f(1,4)相切，求a的值．解依题意有：f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋eq\f(2,x－2)(x<2)，∴l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0，∵l与圆相切，∴eq\f(|2－a|,\r(4a－12＋1))＝eq\f(1,2)⇒a＝eq\f(11,8)，∴a的值为eq\f(11,8).题型二用导数求函数的单调区间求解函数y＝f(x)单调区间的步骤：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．特别要注意定义域，写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连结．例2求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝(x－3)ex，x∈(0，＋∞)；(2)f(x)＝x(x－a)2.解(1)f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2，又x∈(0，＋∞)，∴函数的单调增区间为(2，＋∞)，函数的单调减区间为(0,2)．(2)函数f(x)＝x(x－a)2＝x3－2ax2＋a2x的定义域为R，由f′(x)＝3x2－4ax＋a2＝0，得x1＝eq\f(a,3)，x2＝a.①当a>0时，x1<x2.∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，eq\f(a,3))和(a，＋∞)，单调递减区间为(eq\f(a,3)，a)．②当a<0时，x1>x2，∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)和(eq\f(a,3)，＋∞)，单调递减区间为(a，eq\f(a,3))．③当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，即f(x)在R上是单调递增的．综上，a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，eq\f(a,3))和(a，＋∞)，单调递减区间为(eq\f(a,3)，a)；a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)和(eq\f(a,3)，＋∞)，单调递减区间为(a，eq\f(a,3))；a＝0时，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)．跟踪训练2求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝sinx，x∈[0,2π]；(2)y＝xlnx.解(1)函数的定义域是[0,2π]，f′(x)＝cosx，令cosx>0，解得2kπ－eq\f(π,2)<x<2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，当x∈[0,2π]时，0<x<eq\f(π,2)，或eq\f(3π,2)<x<2π，令cosx<0，解得eq\f(π,2)<x<eq\f(3π,2)，