第25讲数论综合2内容概述进位制的概念、四则运算法则及整数在不同进位制之间的转化，利用恰当的进位制解数论问题．取整符号[]与取小数部分符号{}的定义与基本性质，包含这两种符号的算式与方程的求解．两次与分式不定方程，不便直接转化为不定方程的数论问题．各种数论证明题．典型问题1．算式1534×25=43214是几进位制数的乘法?【分析与解】注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为4×5=20，但是现在为4，说明进走20－4=16，所以进位制为16的约数：16、8、4、2．因为原式中有数字5，所以不可能为4,2进位，而在十进制中有1534×25=38350＜43214，所以在原式中不到10就有进位，即进位制小于10，于是原式为8进制．2．求方程19[x]－96{x}=0的解的个数．【分析与解】有{x}为一个数的小数部分，显然小于1，则96{x}小于96，而19[x]=96{x}，所以19[x]小于96，即[x]小于EMBEDEquation.DSMT4
，又[x]为整数，所以[x]可以取0，1，2，3，4，5，对应有6组解．进一步计算有0，1EMBEDEquation.DSMT4
，EMBEDEquation.DSMT4
为原方程的解．3．一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数．已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7．如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数．求原来的四位数．【分析与解】设这个四位数为EMBEDEquation.DSMT4
…………………………………①每位数字均加3，并且没有进位，为EMBEDEquation.DSMT4
…………………………………………………②有②－①得：3333=EMBEDEquation.DSMT4
=（n－m）(n+m)………………………………③将3333分解质因数，有3333=3×11×101，其有(1+1)(1+1)(1+1)=8个约数，但是有n+m＞n－m，所以只有4种可能满足题意，一一考察，如下表：
如上表，只有1156，4489满足，即原来这个四位数为1156．4．将EMBEDEquation.DSMT4
表示成两个自然数的倒数之和，请给出所有的答案．【分析与解】设有EMBEDEquation.DSMT4
，化简有(a－6)(b－6)=6EMBEDEquation.DSMT4
=2×2×3×3，
评注：形如EMBEDEquation.DSMT4
(t为己知常数)的解法及解的个数．EMBEDEquation.DSMT4
(t为已知常数)类问题，可以通过计算，转化为(A－t)×(B－t)=EMBEDEquation.DSMT4
；我们EMBEDEquation.DSMT4
将分解质因数后，再令(A－t)其中一个为EMBEDEquation.DSMT4
的一个约数(A－t)=a，那么A=a+t，则EMBEDEquation.DSMT4
(t为已知常数)，所以，一般公式为EMBEDEquation.DSMT4
(a为t的一个约数)；设EMBEDEquation.DSMT4
的约数有x个，则A有EMBEDEquation.DSMT4
组(调换顺序算一种)．注意有一组解A、B相等，就是EMBEDEquation.DSMT4
5．在给定的圆周上有2000个点．任取一点标上数1；按顺时针方向从标有1的点往后数2个点，在第2个点上标上数2；从标有2的点再往后数3个点，在第3个点上标上数3；……；依此类推，直至在圆周上标出1993．对于圆周上的这些点，有的点可能标上多个数，有的点可能没有被标数．问标有数1993的那个点上标的最小数是多少?【分析与解】记标有1为第1号，序号顺时针的依次增大．当超过一圈时，编号仍然依次增加，如1号也是2001号，4001号，……则标有2的是1+2号，标有3的是1+2+3号，标有4的是1+2+3+4，…，标有1993的是1+2+3+…+1993=1987021号．1987021除以2000的余数为1021，即圆周上的第1021个点标为1993．那么1021+2000n=1+2+3+…+k=EMBEDEquation.DSMT4
，即2042+4000n=k(k+1).当n=0时，k(k+1)=2042，无整数解；当n=1时，k(k+1)=6042，无整数解；当n=2时，k(k+1)=10042，无整数解；当n=3时，k(k+1)=14042，有118×1