第三章解线性方程组的直接法MethodforSolvingLinearSystems求解AX=b求解§3.1引言与矩阵一些基础知识一、引言在自然科学和工程技术中很多问题常常归结为解线性代数方程组，在自然科学和工程技术中很多问题常常归结为解线性代数方程组，例如，电学中的网络问题，船体放样中建立三次样条函数问题，用最例如，电学中的网络问题，船体放样中建立三次样条函数问题，小二乘法求实验数据的曲线拟合问题，小二乘法求实验数据的曲线拟合问题，解差分法或者有限元方法解常微分方程、偏微分方程边值问题等都导致求解线性代数方程组，微分方程、偏微分方程边值问题等都导致求解线性代数方程组，而这些方程组的系数矩阵大致分为两种，一种是低阶稠密矩阵（例如，些方程组的系数矩阵大致分为两种，一种是低阶稠密矩阵（例如，阶数大约为≤150），另一种是大型稀疏矩阵（数大约为≤150），另一种是大型稀疏矩阵（即矩阵阶数高且零元素），另一种是大型稀疏矩阵较多）。较多）。设线性方程组a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2............an1x1+an2x2+...+annxn=bn写成矩阵形式写成矩阵形式Ax=b如果A非奇异矩阵，即detA≠0，则方程组有唯一解，非奇异矩阵，则方程组有唯一解，利用克莱姆法则得利用克莱姆法则得克莱姆法则Dixi=Di=1,2,n但克莱姆法则计算量太大，通常采用数值解法。但克莱姆法则计算量太大，通常采用数值解法。数值解法线性方程组的数值解法一般有两类：线性方程组的数值解法一般有两类：直接法直接法经过有限步算术运算，经过有限步算术运算，可求得方程组精确解的方法。实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只实际计算中由于舍入误差的存在和影响，能求得近似解。最基本的有高斯消去法及其某种变形，能求得近似解。最基本的有高斯消去法及其某种变形，主要用来求解低阶稠密矩阵方程组。（本章讨论）用来求解低阶稠密矩阵方程组。（本章讨论）低阶稠密矩阵方程组。（本章讨论迭代法迭代法用某种极限过程去逼近线性方程组精确解的方法。用某种极限过程去逼近线性方程组精确解的方法。迭代法具有存储单元较少、程序设计简单、迭代法具有存储单元较少、程序设计简单、原始系数矩阵不变等优点，但存在收敛性和收敛速度问题。主要用于求解大变等优点，但存在收敛性和收敛速度问题。主要用于求解大。（下一章讨论型稀疏矩阵方程组。（下一章讨论）型稀疏矩阵方程组。（下一章讨论）二、矩阵特征值与谱半径定义1：矩阵的全体特征值称为定义：矩阵A的全体特征值称为A的谱。A的谱半径定义为的谱。的谱半径定义为的谱Imρ(A)λλλλλλλλρ(A)=max|λi|，其中λi为1≤i≤nReA的特征根。的特征根。由特征方程det(λIA)=0的展开式可知:nntrA=∑λi=∑aii,detA=λλλ12ni=1i=1此外,A的特征值λ和特征向量x还有如下性质:(1)AT与A有相同的特征值和特征向量;T)x=0有非零解,特征向量为x;(∵λ可使(λIA(2)A1的特征值为λ)1(3)相似矩阵有相同的特征值多项式.三、对称正定矩阵定义2：对称阵，定义：一个矩阵A=(aij)n×n称为对称阵，如果aij=aji。×称为对称阵T定义3：称为正定阵正定阵，定义：一个矩阵A称为正定阵，如果xAx>0，对任意非零向量x都成立。都成立。对称正定阵的几个重要性质：对称正定阵的几个重要性质：A1亦对称正定，且aii>0；亦对称正定，；A的顺序主子阵Dk亦对称正定；亦对称正定；A的所有特征值λi>0；；A的全部顺序主子式det(Dk)>0。。四、正交矩阵与初等矩阵定义4：实方阵A满足则称A为正交矩阵。定义：若实方阵满足ATA=I，则称为正交矩阵。定义5:设u,v∈Rn,σ∈R,σ≠0,则E(u,v;σ)=IσuvT称为初等矩阵.两个常用的初等矩阵：两个常用的初等矩阵：1.初等排列矩阵:Iij=E(eiej,eiej;1)=I(eiej)(eiej)T;Iij也称为初等置换矩阵,它由I交换i,j两行得到.性质：性质：（1）初等排列矩阵是正交矩阵；（2）初等排列矩阵的行列式为-1；（3）IijA=将A的i,j两行互换,AIij=将A的i,j两列互换.2.初等下三角矩阵:设u=lj=(0,,0,lj+1,j,ln,j)T,v=ej,σ=1,则Lj=E(lj,ej;1)称为指标为j的初等下三角矩阵(也称Gauss变换矩阵)即.11TLj=I+ljej=lj+1,j1ln,j1性质：性质：（1）Lj1=Il