科学之友FriendofScienceAmateurs2012年05月柯西收敛准则的证明＊高俊芳，赵临龙（安康学院数学与应用数学研究所，陕西安康725000）摘要：在运用实数完备性6个基本定理的等价性中，文章给出了由其他5个定理来证明柯西收敛准则的方法，充分体现了实数完备性基本定理与柯西收敛准则的统一性。关键词：柯西收敛准则；确界；聚点；单调有界；有限覆盖；区间套中图分类号：O174.1文献标识码：A文章编号：1000－8136（2012）14－0003－02柯西准则在数学分析中应用极为广泛，是数学分析的基础又由区间套定理，存在数A是所有区间［bn，cn］的公共点，［1］理论。文用两种证明方法，即用区间套定理和致密性定理证∴bn≤A≤an，而对任意正整数n，当k≥n时，bank=inf≤ak≤kn≥明柯西收敛准则。在大多数研究成果中，都链条式地论证了实supackn=。数系的基本定理，并最终形成一个论证环。［2～4］柯西准则的证明kn≥ε是重点也是难点，尤其是其充分性。本文重在讨论柯西收敛准于是|A－ak|≤（cn－bn），由（1）得当n＞N时，an－≤3则充分性的证明，其必要性较为简便，本文只给出一种证法。εinfak＝bn≤cn＝supak≤an＋。1相关定理k≥nk≥n3εε于是，当n＞N时，cn－bn≤+<ε，∴当k＞N时，A－定理1（柯西收敛准则）：数列{an}收敛的充要条件是：对33任给的ε＞0，存在正整数N，使得当n，m＞N时，有|a－a|＜ε。nmak＜ε，即有limak=A。定理2（确界定理）：非空有界数集必存在确界。k→∞第二，（定理3→定理1）先证明柯西数列{a}有界，取定理3（单调有界定理）：在实数系中，有界的单调数列必nε＝1，因为{an}柯西数列，所以存在某个正整数N，当n＞N时，有极限。有||1aa−<，即当n＞N时，|a|≤|a＋|＋1，即{a}有界。定理4（聚点定理）：实轴上的任一有界无限点集至少有一nN+1nN1n不妨设{an}≤［a，b］，即a≤an≤b，我们用如下方法取得个聚点。{an}的一个单调子列{an}：①取{an}∈{an}，使［a，an］或［an，kkkk定理5（区间套定理）：若{［an，bn］}是一个区间套，则b］中含有无穷多的［a，b］中的项；②在［a，an］或［an，b］kk在实数系中存在唯一的一点ζ，使ζ∈［an，bn］，n＝1，2⋯，中取得an∈{an}且满足条件①；③取项时方向一致，要么由即a≤ζ≤b。k＋1nna→b，要么由b→a。定理6（有限覆盖定理）：设H为闭区间［a，b］的一个（无由数列{a}性质可知，以上3点可以做到。限）开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆［a，b］。n这样，取出一个数列{an}⊆{an}且{an}是一个单调有界数2柯西收敛准则必要性的证明kk列，则它必有极限，设为a，下面我们证明{an}收敛于a：ε易知，{an}有极限时（设极限为a），{an}一定是一个柯西∀ε>0，∃>K0，当m，n，k＞K时，同时有||aanm−<（由ε2数列。因为∀ε>0，存在正整数N，当n，m＞N时，有||aan−<，ε2柯西条件），||aan−<（由limaan=）。εk2k→∞k||aam−<。2∴当取m＝nk（k＞K）时，得|an－a|≤|an－an|＋|an－a|kk∴|an－am|≤|an－a|＋|am－a|＜ε，这就证明了{an}是一个εε<+=ε。∴证得limaan=。柯西数列。22k→∞k3柯西收敛准则充分性的证明第三，（定理4→定理1）{an}满足柯西条件，先证明{an}有界点列，取ε＝1，则∃NN∈，对一切正整数P都有ρ（a，a＋第一，（定理2→定理1）{a}是柯西数列，则易证{a}是有+NNnn）＜1，令M＝max{ρ（a，a）}（i＝1，2，⋯，n），∴d（{a}）εPij+Pn界数列：∀ε>0，存在正整数N＞0，当n＞N时，有||aa−<，＜M＋1，即证得{a}有界。nN3nε由于{an}有界，由聚点定理推论知{an}存在收敛子列{an}，k即|an|≤|aN|＋，取ε为固定值，则证得{an}有界。设limaa=，下证limaa=。3nknεεεk→∞k→∞又由当n＞N时，||aanN−<得得到aaaNnN−<<+（1）由柯西条件与收敛定义，∀ε>0，∃NN∈+，当k＞n＞N时，333εε有界则存在，，∈（＝，，⋯，）有有ρ（an，an＋k）<，ρ（an，a）<。{an}bcs.t∀εai{an}i12nb2k2≤ai≤c（i＝1，2，⋯，n），即b与c分别为数列