第六节几何概型【知识梳理】1.几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的__________________成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.2.几何概型的特点(1)无限性:试验中所有可能出现的结果(基本事件)有_______个.(2)等可能性:试验结果在每一个区域内_____分布.3.几何概型的概率公式P(A)=__________________________________.【特别提醒】1.几何概型与古典概型的共同点:基本事件的发生都是等可能的.2.几何概型与古典概型的不同点:几何概型的基本事件的个数是无限的,古典概型中基本事件的个数是有限的,前者概率的计算与基本事件的区域长度(面积或体积)有关,而后者却与个数有关.3.几何概型中,线段的端点,图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.【小题快练】链接教材练一练1.(必修3P140练习T1改编)有四个游戏盘,将它们水平放稳后,在上面扔一颗玻璃小球,若小球落在阴影部分,则可中奖,小明要想增加中奖机会,应选择的游戏盘是()【解析】选A.如题干选项中图,各种情况的概率都是其面积比,中奖的概率依次为2.(必修3P140例2改编)已知A={(x,y)|-1≤x≤1,0≤y≤2},B={(x,y)|≤y}.若在区域A中随机地扔一粒豆子,则该豆子落在区域B中的概率为()【解析】选A.集合A={(x,y)|-1≤x≤1,0≤y≤2}表示的区域是一正方形,其面积为4,集合B={(x,y)|≤y}表示的区域为图中阴影部分,其面积为4-×12×π.所以向区域A内随机地扔一粒豆子,则豆子落在区域B内的概率为感悟考题试一试3.(2015·山东高考)在区间[0,2]上随机地取一个数x,则事件发生的概率为()【解析】选A.由得即0≤x≤,故所求概率为4.(2016·莱芜模拟)将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()【解析】选B.阴影部分的面积长方形的面积S=2×1=2.所以由几何概型知质点落在以AB为直径的半圆内的概率是5.(2016·济宁模拟)如图,在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为.【解析】设阴影部分面积为S,由几何概型可知所以S=0.18.答案:0.18考向一与长度(角度)有关的几何概型【典例1】(1)(2015·重庆高考)在区间[0,5]上随机地选择一个数p,则方程x2+2px+3p-2=0有两个负根的概率为.(2)已知A是圆上固定的一点,在圆上其他位置上任取一点A′,则AA′的长度小于半径的概率为.【解题导引】(1)首先根据题意列出方程有两个负根满足的条件,求出p的取值范围,然后根据几何概型的概率计算公式求解.(2)可将AA′的长度小于半径转化为与A,A′两点有关的角度问题.【规范解答】(1)方程x2+2px+3p-2=0有两个负根x1,x2,则解得又因为p∈[0,5],根据几何概型的概率计算公式可知方程x2+2px+3p-2=0有两个负根的概率为答案:(2)如图,满足AA′的长度小于半径的点A′位于劣弧上,其中△ABO和△ACO为等边三角形,可知∠BOC=,故所求事件的概率答案:【一题多解】解答本题(2)还可以用如下方法:如例题解析中图,满足AA′的长度小于半径的点A′位于劣弧上,其中△ABO和△ACO为等边三角形,设圆的半径为r,所以其概率答案:【母题变式】1.若本例题(1)条件“两个负根”变为“无实根”,则结果如何?【解析】由条件知Δ=4p2-4(3p-2)<0,解得:1<p<2,所以没有实根的概率为2.若本例题(1)条件“两个负根”变为“一正一负根”,则结果又如何?【解析】要使该方程有一正一负根,只需x1x2=3p-2<0,即p<,又x∈[0,5],所以有一正一负根的概率P==.【规律方法】1.与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示,则其概率的计算公式为2.与角度有关的几何概型当涉及射线的转动,扇形中有关落点区域问题时,应以角的大小作为区域度量来计算概率,且不可用线段的长度代替,这是两种不同的度量手段.【变式训练】1.(2016·泰安模拟)在区间[-1,1]上随机取一个数x,使的值介于0到之间的概率为()【解析】选A.在区间[-1,1]上随机取一个数x,即x∈[-1,1],要使的值介于0到之间,需使≤≤或所以-1≤x≤或≤x≤1,区间长度为,由几何概型知的值介于0到之间的概率为2.如图,四边形ABCD为矩形,AB=,BC=1,以A为圆心,1为半径作四分之一个圆弧DE,在