第八章平差系统的统计假设检验参数估计是指由样本来推断母体（总体）的方法，一般分为点估计和区间估计两种，衡量估计量质量优劣的标准是：无偏性、一致性、有效性。构造点估计常用的方法有：矩估计法、最大似然估计法、最小二乘法以及贝叶斯估计法等。假设检验也是一种非常重要的统计推断问题，其基本思想可以用小概率原理来解释。所谓小概率原理，就是认为小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的。也就是说，对总体的某个假设是真实的，那么不利于或不能支持这一假设的事件在一次试验中是几乎不可能发生的；要是在一次试验中这一事件竟然发生了，我们就有理由怀疑这一假设的真实性，拒绝这一假设。一个完整的最优的平差系统，除了采用平差准则对参数进行最优估计外，还要保证观测数据的正确性和平差数学模型的合理性。这就要借助于数理统计方法，对观测数据和平差数学模型进行假设检验，以保证平差系统的质量。§8.1参数的区间估计区间估计是依据抽取的样本，根据一定的正确度与精确度的要求，构造出适当的区间，作为总体分布的未知参数或参数的函数的真值所在范围的估计。例如人们常说的有百分之多少的把握保证某值在某个范围内，即是区间估计的最简单应用。这种给定的概率称为置信概率或置信度，所确定的区间称为置信区间，置信区间的两端点称为置信限。求置信区间常用的三种方法是：用已知的抽样分布、利用区间估计与假设检验的联系，以及利用大样本理论。进行区间估计的步骤是：1）选定分布为已知的统计量，且在此统计量中除了包含需要估计其区间的未知参数外，不再包含其它的未知参数。2）根据实际需要确定置信度，并决定是进行双侧还是单侧置信区间估计。3）根据给定的置信度和所选定的统计量所属的分布，由有关的概率统计附表查出相应的分位点值，从而计算出置信区间。一、服从正态分布随机变量的区间估计设随机变量y服从标准正态分布，记为y~N(0,1)，则y出现在区间y∈−[C,Cαα/2/2]的概率表示为Py()−≤≤=−CC1αα/2/2α(8.1.1)这里1−α称为置信度，[−C,Cαα/2/2]称为置信区间，−Cα/2和Cα/2分别为上、下置信限。例题【】：设有一系列观测值、、、，它们都视为从服从正态分布总体28.1.1x1x2LxnN(μ,σ)1432中的抽样，即xi~N(μ,σ)。请构建统计量xi、μ、x的置信区间。解答：由于x−μx−μi~N(0,1)，~N(0,1)σσn2那么，根据总体均值μ和总体方差σ，估计观测值xi的置信区间为[μ−+Cαα/2σμ，C/2σ]2由观测值xi和总体方差σ，估计总体均值μ的置信区间为[xxii−+Cαα/2σ，C/2σ]根据样本均值x和方差σ2n，估计总体均值μ的置信区间为⎡⎤σσ，⎢⎥xx−+Cαα/2C/2⎣⎦nn由总体均值μ和方差σ2n，估计样本均值x的置信区间为⎡⎤σσ，⎢⎥μμ−+Cαα/2C/2⎣⎦nn且可知：当C1.9α/2=6时，1−=α0.95；当Cα/2=2时，1−α=0.954；当Cα/2=3时，1−=α0.9973；当C4α/2=时，1−=α0.9999。二、服从χ2分布随机变量的区间估计设、、、为的一个子样，且，那么x1x2Lxvxxi~N(0,1)2222χ=x1+x2+L+xν就是服从自由度为v的χ2分布的随机变量。22因此，若x~N(μ,σ)，xi~N(μ,σ)，则有2n2⎛⎞x−μ2⎛⎞xi−μ2⎜⎟~χ(1)，∑⎜⎟~(χn)⎝⎠σi=1⎝⎠σ即n个服从χ2分布的独立随机变量的和，仍是χ2变量，其自由度为n。2若随机变量xi~N(μ,σ)，子样方差估值为1nˆ22σ=∑()xi−xn−1i=1则有(n−1)σˆ2n(x−x)2=i~χ2(n−1)2∑2σi=1σ若根据平差结果得到VVTPσˆ2=nt−144则有()nt−σˆ2TVVP=~(χ2nt−)σσ22顺便指出，服从χ2分布的随机变量的方差为2倍自由度。设随机变量y是服从χ2分布的随机变量，则y出现在区间y∈⎡χ22,χ⎤的概率表示为⎣pp12⎦Pyχ22≤≤=−χ1α(8.1.2)(pp12)这里1−α为置信度，⎡χ22,χ⎤为置信区间，χ2和χ2分别为上、下置信限。⎣pp12⎦p1p2因此，如果已知一列观测结果、、、和其总体均值，则2的置信区间为x1x2Lxnμσ⎡⎤11nn()xx−−μμ22，()⎢⎥22∑∑iiχχii==11⎣⎦⎢⎥pp21如果已知样本方差σˆ2，则总体方差σ2的置信区间为⎡⎤(1)(1)nn−−σˆˆ22σ⎢⎥，