第5章参数估计与假设检验（§5.1~§5.5）统计推断是统计学的重要内容。它大致可以分为两类：估计问题与假设检验问题。且每类问题又可以分为参数估计与假设检验和非参数估计与假设检验。本章将介绍参数估计与参数假设检验的基本知识。一方面，在一些实际问题中，研究对象的总体分布类型往往可以从理论或实际经验中得到，而未知的只是分布中的参数。例如，由中心极限定理和实际经验知道：表示人体身高的随机变量X近似地服从正态分布N(,2)，其中参数，2未知；表示纺织厂细纱机上的断头次数的随机变量Y近似地服从参数为的泊松分布P()，其中参数未知；……另一方面，在有些情况下，人们所关心的并不是总体的分布，而是总体的某些数字特征（一般可以表为总体参数的函数，如：若总体X~e()，则EX=1/）。这些问题都要求人们通过对所抽取的简单随机样本进行科学的分析，从而推断出总体的未知参数或数字特征来。这类问题统称为参数估计问题。参数估计问题又分为点估计与区间估计两类。直观地讲，点估计是要用样本的某一函数值做为待估参数的估计值；区间估计则是要将待估参数确定在某一范围之内。§5.1点估计概述一、什么叫点估计（P.149）设（X1，X2，…，Xn）是来自总体X的样本，（x1,x2,…,xn）是相应的样本值。是总体分布的待估参数，，表示的取值范围，称为参数空间。注：尽管参数是未知的，但是它的参数空间却是事先知道的。如正态总体X~N(,2)的参数R，(0,+).为估计参数，需要先构造一个统计量h(X1,X2,…,Xn),然后再利用该统计量的实现值h(x1,x2,…,xn)来估计参数的真值，作为的近似值，即h(x1,x2,…,xn)。称统计量h(X1,X2,…,Xn)为参数的估计量，记作ˆ；该统计量的实现值为参数(X1,X2,,Xn)h(x1,x2,…,xn)的估计值，记作ˆ。(x1,x2,,xn)在不会引起误会的场合，估计量与估计值统称为点估计，简称为估计，并简记为ˆ。且有。由于的估计值是数轴上的一个点，用作为的真值的近似值，就相当于用一个点来估计，故得名“点估计”。如果总体分布中有多个待估参数1，2，…，r，(1,2,…,r)，则一般需要构造不同的统计量ˆi(X1,X2,,Xn)，i=1,2,…,r，分别估计各个i，且称为第i个参数i的估计量，其相应的估计值ˆ为第i个参数的估计值，i=1,2,…,r.i(x1,x2,,xn)i如果待估参数是总体未知参数的实值函数g()（如：总体X~e()时，待估参数EX=1/就是总体未知参数的实值函数，此时有g()=1/），则称用来估计实值函数g()的统计量g(ˆ)为该实值函数g()的估计量，统计量的相应的实现值为该实值函数g()的估计值。且有g()。例5.1（P.150例5.1）设某种型号的电子元件的寿命Xx1（以小时计）~f(x;)e，（x>0）。为未知参数，>0。现得样本值为168，130，169，143，174，198，108，212，252，试估计未知参数。解未知参数的一个估计量，就是利用样本构造的一个函数。方法一1∵总体X服从参数为的指数分布：X~e()，x1∴EX=（EXxf(x;)dxxedx），0即未知参数就是总体X的数学期望（均值）。n因此一个自然的想法就是，用样本均值1来估XXini1计未知参数（即总体的均值），得到未知参数的一个估计量为ˆ，其中。1X对于给定的样本值，计算出未知参数的一个估计值为9ˆ111xxi(168130252)172.7。9i19即172.7。方法二ˆ未知参数的估计量也可以取为2X1，则相应的估计值为ˆ。即。2x1168168方法三记X(1)=min{X1,X2,…,X9}，X(9)=max{X1,X2,。将未知参数的估计量取为ˆ1，则…,X9}3(X(1)X(9))112相应的估计值为ˆ(xx)(108252)180。即180.32(1)(9)2由此可见，同一个未知参数，其估计量可以是多个。对于一个未知参数，原则上可以随意地去构造其估计量。因此，需要制定出衡量各种估计量好坏的标准，对估计量进行评价。注：由于作为估计量的统计量，是样本的函数，因而它是一个随机变量，具有不确定性。