第二节命题及其关系、充分条件与必要条件时间：45分钟分值：100分eq\x(基)eq\x(础)eq\x(必)eq\x(做)一、选择题1．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析由(2x－1)x＝0⇒x＝0或x＝eq\f(1,2)，所以应选B.答案B2．命题“若a>b，则a3>b3”的逆否命题是()A．若a≥b，则a3≥b3B．若a>b，则a3≤b3C．若a≤b，则a3≤b3D．若a3≤b3，则a≤b解析由逆否命题的含义知，D正确．答案D3．命题“若a<0，则一元二次方程x2＋x＋a＝0有实根”与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是()A．0B．2C．4D．不确定解析当a<0时，Δ＝1－4a>0，所以方程x2＋x＋a＝0有实根，故原命题为真；根据原命题与逆否命题真假一致，可知其逆否命题为真；逆命题为：“若方程x2＋x＋a＝0有实根，则a<0”，因为方程有实根，所以判别式Δ＝1－4a≥0，所以a≤eq\f(1,4)，显然a<0不一定成立，故逆命题为假；根据否命题与逆命题真假一致，可知否命题为假．故正确的命题有2个．答案B4．已知a，b，c是实数，则b2≠ac是a，b，c不成等比数列的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析因为命题“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”的逆否命题为“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”，是真命题，所以b2≠ac是a，b，c不成等比数列的充分条件；因为“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”是假命题，所以“若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac”是假命题，即b2≠ac不是a，b，c不成等比数列的必要条件．故选A.答案A5．(2014·东北三省二模)已知p：x≥k，q：eq\f(3,x＋1)<1，如果p是q的充分不必要条件，那么k的取值范围是()A．[2，＋∞)B．(2，＋∞)C．[1，＋∞)D．(－∞，－1]解析q：eq\f(3,x＋1)<1⇒eq\f(3,x＋1)－1<0⇒eq\f(2－x,x＋1)<0⇒(x－2)·(x＋1)>0⇒x<－1或x>2.因为p是q的充分不必要条件，所以k>2，故选B.答案B6．(2015·济宁模拟)已知函数f(x)＝x2－2ax＋b，则“1<a<2”是“f(1)<f(3)”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析函数f(x)＝x2－2ax＋b，所以f(1)＝1－2a＋b，f(3)＝9－6a＋b,1<a<2，所以1－2a<9－6a，即f(1)<f(3)；反过来，f(1)<f(3)时，得1－2a＋b<9－6a＋b得a<2，不能得到1<a<2，所以“1<a<2”是“f(1)<f(3)”的充分不必要条件．答案A二、填空题7．已知命题“若a>b，则ac2>bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是________．解析其中原命题和逆否命题为假命题，逆命题和否命题为真命题．答案28．若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值为________．解析由x2>1，得x<－1或x>1，又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，知由“x<a”可以推出“x2>1”，反之不成立，所以a≤－1，即a的最大值为－1.答案－19．下面有四个关于充要条件的命题：①若x∈A，则x∈B是A⊆B的充要条件；②函数y＝x2＋bx＋c为偶函数的充要条件是b＝0；③x＝1是x2－2x＋1＝0的充要条件；④若a∈R，则a>1是eq\f(1,a)<1的充要条件；其中真命题的序号是________．解析由子集的定义知，命题①为真．当b＝0时，y＝x2＋bx＋c＝x2＋c显然为偶函数，反之，y＝x2＋bx＋c是偶函数，则(－x)2＋b(－x)＋c＝x2＋bx＋c恒成立，就有bx＝0恒成立，得b＝0，因此②为真．当x＝1时，x2－2x＋1＝0成立，反之，当x2－2x＋1＝0时，x＝1，所以③为真．对于④，由于eq\f(1,a)<1⇔eq\f(a－1,a)>0，即a>1或a<0，故a>1是eq\f(1,a)<1的充分不必要条件，所以④为假．答案①②③三、解答题10．π是圆周率，a，b，c，d∈Q，已知命题p：若aπ＋b＝cπ＋d，则a＝c且b＝d.(1)写出命题p的否定并判断真假；(2)写出命题p的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假；(3)“a＝c且b＝d”是“aπ＋b＝cπ＋d”的什么条件？并证明你