初三数学讲义——因式分解【提公因式法】如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。具体方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；（2）字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；（3）取相同的多项式，多项式的次数取最低的；（4）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。注意：把2a2+1/2变成2(a2+1/4)不叫提公因式例1、把下列格式因式分解（1）?ax2m?2?abx3m?1?acx2m?axm?3（2）a(a?b)?2a(b?a)?2ab(b?a)2例2、已知：x?bx?c（b、c为整数）是x?6x?25及3x?4x?28x?5的公因式，求b、c的值。24242变式1、分解因式：（1）?4mn?12mn?2mn2332（2）ax2n?2?abx3n?1?acx?adxn2n?1（n为正整数）2（3）a(a?b)?2a(b?a)?2ab(b?a)2-1-变式2、证明：81?27?9能被45整除。7913【公式法】平方差公式：a-b=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a±2ab＋b＝(a±b)；【注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。】立方和公式：a+b=(a+b)(a-ab+b)；立方差公式：a-b=(a-b)(a+ab+b)；完全立方公式：a±3ab＋3ab±b=(a±b)．欧拉公式：a+b+c+3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)特别地：（1）当a?b?c?0时，有a?b?c?3abc333333222322333322332222222例如：a2+4ab+4b2=(a+2b)2。例3、把a?2a?b?2b分解因式的结果是（22）A.(a?b)(a?2)(b?2)C.(a?b)(a?b)?2B.(a?b)(a?b?2)D.(a?2b)(b?2a)22例4、已知多项式2x?x?m有一个因式是2x?1，求m的值。32-2-变式3、分解因式：（1）(a?2)?(3a?1)22（2）x(x?2y)?x(2y?x)52（3）a(x?y)?2a(x?y)?(x?y)2234变式4、若a，b，c是三角形的三条边，求证：a?b?c?2bc?0222【分组分解法】分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。例5、把多项式2a(a2?a?1)?a4?a2?1分解因式，所得的结果为（A.(aC.(a22）?a?1)?a?1)22B.(aD.(a22?a?1)?a?1)22例6、已知：a2?b2?1，c2?d2?1，且ac?bd?0，求ab+cd的值。变式5、分解因式：x3?3x2?4x?12?____________变式6、已知：a?b?c?0，求a3?a2c?abc?b2c?b3的值。-3-【实战模拟】一、选择题1、（2010山东济宁）把代数式3x?6xy?3xy分解因式，结果正确的是（322）A．x(3x?y)(x?3y)C．x(3x?y)2B．3x(x?2xy?y)22D．3x(x?y)222、（2010台湾）下列何者为5x?17x?12的因式？（A.x?1B.x?1C.x?4）D.x?43、（2010贵州贵阳）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（A.x?xy2）22B.x?xy2C.x?y22D.x?y4、（2011浙江丽水）下列各式能用完全平方式进行分解因式的是（A．x+12）2B.x+4x+42C.x+x+12D.x+2x－15、（2011河北）下列分解因式正确的是（A．a-2a?1??a-1?22）B．2a－4b+2=2（a－2b）D．-a?a?-a（1?a）32C．a-4??a-2?22二、填空题6、（2011安徽芜湖）因式分解x?2xy?xy=322．227、（2010年宁波市）若x?y?3，xy?1，则x?y?___________。28、（2010年山东省济宁市）若代数式x?6x?b可化为(x?a)?1，则b?a的