第2课时等比数列习题课关键能力·素养形成【思维·引】1.利用等比数列的性质求出b7,即a7,同时求S13;2.利用等差条件求出q,再求S6.【解析】1.选C.因为数列{an}为等比数列,满足a3a11=6a7,所以=6a7,解得a7=6,因为数列{bn}为等差数列,其前n项和为Sn,且b7=a7,所以b7=a7=6,所以S13==13b7=13×6=78.2.选C.因为数列{an}是由实数构成的等比数列,a1=2,且a2-4,a3,a4成等差数列,所以2a3=(a2-4)+a4,即2×2q2=2q-4+2q3,整理,得(q-2)(q2+1)=0,所以{an}的公比q=2.则S6==126.【内化·悟】本例2中的等差条件的作用是什么?提示:利用等差中项构造方程求公比.【类题·通】等差、等比数列性质的综合应用(1)等比、等差的条件可以分别利用等比、等差中项构造方程,求解基本量a1,d,q,n等;(2)若涉及求和,一定要先分清求哪种数列的和,再明确该数列的基本量,然后计算.【习练·破】(2020·江苏高考)设{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q的等比数列,已知数列{an+bn}的前n项和Sn=n2-n+2n-1(n∈N+),则d+q的值是______.【解析】设数列{an},{bn}的首项分别为a1,b1,前n项和分别为An,Bn,则An=n2+结合Sn=n2-n+2n-1,所以d+q=4.答案:4【加练·固】已知等差数列{an}的首项和公差都不为0,a1,a2,a4成等比数列,则=()A.2B.3C.5D.7【解析】选C.等差数列{an}的首项和公差d都不为0,a1,a2,a4成等比数列可得=a1a4,即有(a1+d)2=a1(a1+3d),化为a1=d,则=5.类型二错位相减法求和【典例】已知等比数列{an}的公比q>0,a2a3=8a1,且a4,36,2a6成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.【思维·引】(1)利用a2a3=a1a4计算a4,进而计算a6,a1,q求通项.(2)利用错位相减法求前n项和.【解析】(1)因为a2a3=8a1,所以a1a4=8a1,所以a4=8,又a4,36,2a6成等差数列,所以a4+2a6=72,所以a6=32,q2==4,q>0,所以q=2,所以an=8·2n-4=2n-1.(2)bn=两式相减得:所以Tn=8-(n+2)·【内化·悟】本例在错位相减法求和时,两式相减后会得到一个等比数列,这个等比数列的基本量有哪些?利用哪个求和公式较为方便?提示:可以得到这个等比数列的首项、公比,利用公式Sn=【类题·通】关于错位相减法求和(1)适用范围:{an}是等差数列,{bn}是等比数列(q≠1),形如cn=anbn的数列适合利用错位相减法求和;(2)求和步骤①对求和式Sn=c1+c2+…+cn-1+cn(i),要写出倒数第二项cn-1;②式子的两边同乘以等比数列的公比q,写成qSn=c1q+c2q+…+cn-1q+cnq(ii)的形式,要空一位书写,(i)(ii)式形成错位;③(i)式-(ii)式,左边=(1-q)Sn,右边考查除了最后一项外的其他项,利用等比数列求和公式求和、整理;④两边同除以1-q,整理得Sn.【习练·破】已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=-10.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列的前n项和Sn.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,由已知条件可得故数列{an}的通项公式为an=2-n.(2)Sn=所以两式相减得所以【加练·固】已知递减的等比数列{an}各项均为正数,满足a1·a2·a3=8,a1+1,a2+1,a3构成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=n·an,求数列{bn}的前n项和Sn.【解析】(1)由等比数列性质可知a1·a2·a3==8,所以a2=2,a1·a3=4.由a1+1,a2+1,a3构成等差数列,可知a1+1+a3=2(a2+1)=6,所以a1+a3=5.由等比数列{an}递减可知于是q=.所以an=a1·qn-1=4×(2)由(1)可知bn=n·an=n·,于是Sn=1×两式相减得=8-(n+2)×,故Sn=16-(n+2).类型三等比数列Sn与an的关系角度1求Sn与an的关系【典例】已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且-a3,a2,a4成等差数列,则Sn与an的关系是()A.Sn=2an-1B.Sn=2an+1C.Sn=4an-3D.Sn=4an-1【思维·引】分别表示出