习题课——函数性质的综合应用课后训练巩固提升A组1.已知函数f(x)是R上的奇函数且是减函数,则f(1)的值()A.恒为正数B.恒为负数C.可正可负D.无法判断解析:因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.又因为f(x)是R上的减函数,所以必有f(1)<f(0)=0.答案:B2.给出下列四个函数,其中既是奇函数,又在定义域上为减函数的是()A.f(x)=-x-x3B.f(x)=1-xC.f(x)=-3xD.f(x)=x-x2x-1解析:给出的四个函数中为奇函数的是f(x)=-x-x3和f(x)=-3x,其中在定义域上为减函数的只有f(x)=-x-x3.答案:A3.设f(x)是R上的偶函数,且在区间[0,+∞)内单调递增,则f(-2),f(-π),f(3)的大小顺序是()A.f(-π)>f(3)>f(-2)B.f(-π)>f(-2)>f(3)C.f(3)>f(-2)>f(-π)D.f(3)>f(-π)>f(-2)解析:∵f(x)是R上的偶函数,∴f(-2)=f(2),f(-π)=f(π),又f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,且2<3<π,∴f(π)>f(3)>f(2),即f(-π)>f(3)>f(-2).答案:A4.若函数f(x)=(3a-1)x+4a,x<1,-ax,x≥1是定义在R上的减函数,则a的取值范围为()A.18,13B.0,13C.18,+∞D.-∞,18∪13,+∞解析:要使f(x)在R上是减函数,需满足3a-1<0,-a<0,(3a-1)·1+4a≥-a·1,解得18≤a<13.答案:A5.设奇函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,且f(1)=0,则不等式f(x)-f(-x)x<0的解集为()A.(-1,0)∪(1,+∞)B.(-∞,-1)∪(0,1)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-1,0)∪(0,1)解析:因为f(x)为奇函数,f(x)-f(-x)x<0,即f(x)x<0,又因为f(x)在区间(0,+∞)内单调递减且f(1)=0,所以当x>1时,f(x)<0.由于奇函数的图象关于原点对称,所以在区间(-∞,0)内f(x)为减函数,且f(-1)=0,即x<-1时,f(x)>0.综上可知,使f(x)x<0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).答案:C6.已知f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,且f(x)+g(x)=1x-1,则f(3)=.解析:∵f(x)+g(x)=1x-1,∴f(-x)+g(-x)=1-x-1.∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,∴-f(x)+g(x)=-1x+1.∴2f(x)=1x-1+1x+1.令x=3,得2f(3)=12+14=34,∴f(3)=38.答案:387.已知函数f(x)=x2+x+1x2+1,若f(a)=23,则f(-a)=.解析:根据题意,f(x)=x2+x+1x2+1=1+xx2+1,而h(x)=xx2+1是奇函数,故f(-a)=1+h(-a)=1-h(a)=2-[1+h(a)]=2-f(a)=2-23=43.答案:438.若定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,2)内单调递增,且f(x+2)的图象关于直线x=0对称,则f(-1)与f(3)的大小关系是.解析:因为函数f(x+2)的图象关于直线x=0对称,所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(3)=f(1).又f(x)在区间(-∞,2)内单调递增,且-1<1,所以f(-1)<f(1),即f(-1)<f(3).答案:f(-1)<f(3)9.设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)<f(m),求实数m的取值范围.解:因为f(x)是奇函数且f(x)在区间[0,2]上单调递减,所以f(x)在区间[-2,2]上是减函数.所以不等式f(1-m)<f(m)等价于1-m>m,-2≤m≤2,-2≤1-m≤2,解得-1≤m<12.所以实数m的取值范围为-1,12.10.已知函数f(x)的定义域是R,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.求证:f(x)在R上是减函数.证明:∵对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)·f(n),令m=1,n=0,可得f(1)=f(1)f(0),∵当x>0时,0<f(x)<1,∴f(1)≠0,∴f(0)=1.令m=x<0,n=-x>0,则f(m+n)=f(0)=f(-x)f(x)=1,∴f(x)f(-x)=1.又当-x>0时,0<f(-x)<1,∴f(x)=1f(-x)>1.∴对任意实数x,f(x)恒大于0.设任意x1<x2,则x2-x1>