附件2流形上的散度公式证明和数值模型[Maple程序样本]杨科中国成都610017E-mail:HYPERLINK"mailto:more2010e@sina.com"more2010e@sina.com[由于高数据量、高运算量、高处理量,证明、数值模型部分的计算、作图采用Maple11计算机代数系统格式:以符号’>’为首者为手动输入指令;以符号’#’为首者为注释;以符号’//’为首者为分析说明(红色痕迹);其余为计算机代数系统返回的分析、计算、作图结果(蓝色痕迹),与通用物理/数学表达式接近][21]目录引言证明的前提条件——单连通可定向闭合曲面坐标系的建立(Maple程序版)....................21.1流形上的散度公式证明............................................91.2环面坐标系散度公式证明.........................................152.流形上的散度公式数值模型.........................................21数值模型2.1.....................................................21数值模型2.2.....................................................29数值模型2.3.....................................................373.环面坐标系散度公式数值模型........................................434.流形上的散度公式证明的反例:关于Klein瓶的曲面积分和三重积分...........495.Klein瓶的曲面积分和三重积分数值模型..............................62参考书籍........................................................74引言证明的前提条件——单连通可定向闭合曲面坐标系的建立(Maple程序版)(一)考察证明的对象---散度公式:“散度公式设空间闭区域Ω是由光滑或分片光滑的闭曲面S围成,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)[构成向量场A]及其偏导数在空间闭区域Ω上连续,则(1)其中曲面S为空间闭区域Ω的整个边界曲面外侧,n为曲面S的单位外法向量,divA为向量场A的散度”.在公式的定义中,强调空间闭区域Ω的边界闭合曲面S必须是能够区分其”内侧”、”外侧”的可定向曲面.在传统的直角坐标系Остроградский-Gauss公式证明中,”抽象可定向闭合曲面∑”是这样定义的:抽象可定向闭合曲面∑由三个子曲面∑1:z=z1(x,y),∑2:z=z2(x,y),以及∑3分片包围而成,其中曲面∑1:z=z1(x,y),∑2:z=z2(x,y),∑3皆为抽象二元函数.(参见《高等数学(第六版)》(下册)同济大学数学系高等教育版2007P168-170)也就是说,散度公式客观上要求,不论在空间直角坐标系,或者在其它坐标系,被证明的相关曲面S必须具有两种属性:(1)闭合性;(2)可定向性.离开传统的空间直角坐标系,怎样刻画抽象的、具有普遍意义的”可定向闭合曲面”并且进一步建立”可定向闭合曲面坐标系”?并没有现成的答案.Poincare猜想[19]断定"任何与n维球面同伦的n维闭合流形必定同胚于n维球面",在散度或旋度公式涉及的三维欧氏空间,其对应的判断为"任何单连通、可定向2维闭合流形必定同胚于2维球面".也就是说,根据Poincare猜想,在散度或旋度公式涉及的三维欧氏空间,任何单连通、可定向的闭合曲面(虽然仅仅是单连通),不论其几何外观如何千变万化,必定有同胚于”球面”这一普遍属性.进一步的问题自然是”在三维欧氏空间,能否根据Poincare猜想这一普遍属性,定义单连通、可定向的闭合曲面的抽象的、普遍意义的表达式?”这也正是本”引言2”讨论的中心内容.在空间解析几何学中,上述"2维球面"的参数表达式为[sin(u)cos(v),sin(u)sin(v),cos(u)],其中参数u的变化范围[0,Pi],参数v的变化范围[0,2*Pi](在严格意义上,该参数表达式是”2维球面”在”空间直角坐标系”和”球面坐标系”之间的转换式;”二维球面”在球面坐标系的表达式是常数1).在拓扑学领域,"同胚"的定义为"两个流形,如果可以通过弯曲、延展、剪切等操作把其中一个变为另一个，则认为两者是同胚的".