附件1流形上的旋度公式证明和数值模型[分析和说明]杨科中国成都610017E-mail:HYPERLINK"mailto:more2010e@sina.com"more2010e@sina.com摘要：旋度公式(又称Stokes公式)是现代数学、物理体系的核心公式之一.传统的旋度公式证明逻辑体系,建立了基于空间直角坐标系投影法(简称投影法)的曲面积分与空间环路积分的公式关联,确立了投影法为曲面积分的根本方法.但是投影法存在诸多明显的缺陷(例如计算过程繁琐;不适用于不对称、不规则曲面等),以致于物理、工程领域的许多重要问题(例如电磁学领域的Maxwell方程组实例化和流体力学领域的任意不规则控制面积分)的解决途径,均建立在直角坐标系或其它坐标系的偏微分方程组求解基础上.一个多世纪以来的数学、物理和工程实践已经证明,通过投影法、直角坐标系或其它坐标系的偏微分方程组,难于甚至不能获得关于复杂几何对象(流形)的解析解、数值解;传统的流形微积分学,用外微分形式推导出Green公式,Остроградский-Gauss公式,Stokes公式,乃至关于n维空间积分的广义Stokes公式[20],即但是这类用外微分形式推导出的公式只具有抽象的理论意义,并没有揭示积分的具体实现过程,更无具体数值模型可言;本稿件通过建立与具体几何对象(流形)匹配的个性化坐标系(即有什么样的几何形体,就建立什么样几何形体的坐标系;而不再依赖于已有的少数几个直角坐标系、球面坐标系、柱面坐标系、广义球面坐标系等),用积分以及和式极限的方法,证明旋度公式在无穷多个任意参数曲面(流形)坐标系[包括单连通可定向闭合曲面坐标系(基于Poincare猜想)和复连通可定向闭合曲面坐标系(环面坐标系)]的存在,使旋度公式超越传统的直角坐标系框架,建立基于参数化空间点积法的曲面积分与空间环路积分之间的新公式关联,并且在无限丰富、绚丽的公式数值模型运算中实现两种类型积分相互验证,确立新型的基于参数化空间点积法的曲面积分方法的理论逻辑依据和数值模型."证明流形上的旋度公式"本身不是唯一目的,"建立基于参数化空间点积法的曲面积分与空间环路积分之间的新公式关联,确立新型的基于参数化空间点积法的曲面积分方法的理论逻辑依据和数值模型"是根本目的.本稿件相关的数值模型表明,使用基于参数化空间点积法的曲面积分,能够获得关于复杂几何形体[流形,尤其是不对称、不规则(非闭合)曲面]的解析积分值或任意精度浮点积分值;实现任意曲面积分,实现向量场(电场、磁场、流体场、引力场等)在任意自由空间区域(闭合路径、非闭合曲面)的精确积分计算,确立两种类型积分的逻辑关联关系,实现流形上的旋度公式和工程意义上的流形积分.关键词:微积分学拓扑学物理学Poincare猜想向量场自由参数曲面坐标系单连通可定向闭合参数曲面坐标系复连通可定向闭合参数曲面坐标系基于参数化空间点积法的曲面积分流形上的旋度公式证明数值模型和式极限基于参数化空间点积法的曲面积分与空间环路积分之间的新公式关联工程意义上流形积分解析积分值任意精度浮点数积分值中图分类号：O17/O412.3目录引言证明的前提条件——-单连通可定向闭合曲面坐标系的建立(参见流形上的散度公式证明引言2)1.1流形上的旋度公式证明...........................................31.2环面(复连通可定向闭合曲面)坐标系旋度公式证明.......................92.流形上的旋度公式数值模型.........................................13数值模型2.1.....................................................13数值模型2.2.....................................................213.环面坐标系旋度公式数值模型.......................................284.流形上的旋度公式的反例:关于Mobius带的空间环路积分与和曲面积分4.1流形上的旋度公式与Mobius带..................................324.2Mobius带的空间环路积分与和曲面积分数值模型1....................394.3Mobius带的空间环路积分与和曲面积分数值模型2....................43总结...........................................................47参考书籍...