分享智慧泉源智愛學習传扬爱心喜乐高中新课标数学选修直线、平面、简单几何体空间距离1理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念2会用求距离的常用方法（如：直接法、转化法、向量法对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况）和距离公式计算七种距离知识点归纳1点到平面的距离：已知点P是平面α外的任意一点，过点P作PA⊥α，垂足为A，则PA唯一，则PA是点P到平面α的距离即一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离结论：连结平面α外一点P与α内一点所得的线段中，垂线段PA最短2异面直线的公垂线：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线．3．公垂线唯一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线4．两条异面直线的公垂线段：两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做两条异面直线的公垂线段；5．公垂线段最短：两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条；6．两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度说明：两条异面直线的距离AB即为直线a到平面α的距离即两条异面直线的距离等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离7直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离)8．两个平行平面的公垂线、公垂线段：（1）两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线（2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线Wisdom&Love（）2010年8月1日星期日分享智慧泉源智愛學習传扬爱心喜乐段（3）两个平行平面的公垂线段都相等（4）公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长9．两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离10．七种距离：点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离，点到平面的距离有时用“体积法”来求10用向量法求距离的公式：ABn⋅⑴异面直线ab,之间的距离：d=，其中n⊥⊥∈∈anbAaBb,,,||nABn⋅⑵直线a与平面α之间的距离：d=，其中AaB∈∈,αn是平面α的法向量||nABn⋅⑶两平行平面αβ,之间的距离：d=，其中AB∈∈αβ,n是平面α的法向量||nABn⋅⑷点A到平面α的距离：d=，其中B∈α，n是平面α的法向量||n|Ax0+++By0Cz0D|另法：点Axyz(,,),000平面Ax+++=ByCzD0则d=ABC222++22⎛ABa⋅⎞⑸点A到直线a的距离：d=||AB−⎜⎟，其中Ba∈，a是直线a的方向向量⎝||a⎠22⎛AB⋅a⎞⑹两平行直线ab,之间的距离：d=||AB−⎜⎟，其中AaBb∈∈,，a是a的方向向量⎝||a⎠例1设A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），求D到平面ABC的距离解法一：∵A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），∴AD=−−(7,7,7)设平面ABC的法向量n=（x，y，z），⎧(x,y,z)⋅(2,−2,1)=0,则n·AB=0，n·AC=0，∴⎨⎩(x,y,z)⋅(4,0,6)=0,Wisdom&Love（）2010年8月1日星期日分享智慧泉源智愛學習传扬爱心喜乐⎧3⎧2x−2y+z=0⎪x=−z,即⎨⇒⎨2⎩4x+6z=0⎩⎪y=−z.令z=－2，则n=（3，2，－2）ADn⋅|3×−+×−−×(7)2(7)27|494917∴由点到平面的距离公式：d====||n322++−2(2)217174917∴点D到平面ABC的距离为17解法二：设平面ABC的方程为：Ax+++=ByCzD0将A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７）的坐标代入，得⎧3AB=⎧23ABCD+++=0⎪2⎪⎪⎨42ABCDCB+++=⇒0⎨=−，⎪637ABCDDB+++=0⎪=−5⎩⎪⎩取B＝2，则平面ABC的法向量n=(A,B,C)=（3，2，－2）又因为AD=−−(7,7,7)ADn⋅|3×−+×−−×(7)2(7)27|494917∴由点到平面的距离公式：d====||n322++−2(2)21717∴点D到平面ABC的距离为491