重点难点重点：①对数的概念、性质、运算法则、换底公式．②对数函数的概念、图象与性质．难点：①对数的换底公式．②对数函数在a>1与0<a<1时图象、性质的区别．③对数函数图象与性质的应用及简单对数方程、不等式的求解．知识归纳一、对数1．由定义知：ab＝N⇔b＝(a>0，a≠1，N>0)．2．性质：(1)负数和零没有对数；(2)1的对数为；(3)底的对数为.3．恒等式：(1)alog＝，(a>0，a≠1，N>0)(2)logaab＝.二、对数函数的图象与性质定义同底的指数函数与对数函数互为反函数，图象关于直线y＝x对称，单调性相同．三、反函数的概念与性质1．若函数y＝f(x)的定义域为A，值域为B，对于B中的每一个元素y0，在A中都有唯一的元素x0与之对应，则函数y＝f(x)存在反函数，记为y＝f－1(x)，且y＝f－1(x)的定义域、值域分别为y＝f(x)的值域、定义域．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．2．互为反函数的图象之间的关系(1)y＝f－1(x)与y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称．(2)若点P(a，b)在y＝f－1(x)的图象上，则P′(b，a)在y＝f(x)的图象上．2．同底数的对数比较大小用单调性．同真数的对数比较大小用图象或换底或转化为指数式．要注意与中间量0、1的比较．对数函数图象在第一象限内底数越小，图象越靠近y轴(逆时针底数依次变小)，在直线x＝1右侧，底大图低(区分x轴上方与下方)．一、转化的思想指数式ab＝N与对数式logaN＝b(a>0且a≠1，N>0)可以互化，在解决与指数式、对数式有关的问题时，利用指对互化(或等式两端取同底的对数)结合换底公式常能起到事半功倍的效果．二、数形结合的思想[例](2010·烟台市模考)已知函数f(x)是R上的偶函数，且f(1－x)＝f(1＋x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)－log5x的零点个数是()A．3B．4C．5D．6∴f(x)是周期为2的周期函数，∵x∈[0,1]时，f(x)＝x2，且f(x)为偶函数，∴x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，因此，x∈[2k－1,2k＋1]时，x－2k∈[－1,1]，f(x)＝f(x－2k)＝(x－2k)2，其中k∈Z，作出f(x)的图象如图．∵log55＝1，∴f(x)的图象与y＝log5x的图象共有4个交点，故选B.[答案]B[点评]作为选择题，严格推导f(x)的表达式比较烦琐，故可由f(x)的对称性直接画图解决，可先由f(x)＝x2(0≤x≤1)及f(x)为偶函数，画出[－1,1]上一段，再由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，画出x∈[1,3]上一段，再由偶函数画出[－3，－1]上一段，以此类推可画出f(x)的图象．答案：(1)B(2)1解析：∵0<log43<1，∴f(log43)＝4log43＝3.答案：C分析：根据对数的运算性质，loga(MN)＝logaM＋logaN，logaM2＝2logaM(M>0，N>0)求解．答案：C[例2]已知函数f(x)＝2x＋1(x≥0)，那么f－1(9)＝()A．9B．3C．513D．511解析：设f－1(9)＝a，则f(a)＝9，即2a＋1＝9，∴a＝3，故选B.答案：B点评：如果点(a，b)在反函数y＝f－1(x)的图象上，则点(b，a)在原来函数的图象上；互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．(2010·重庆南开中学)函数y＝lg(x＋1)的反函数的图象为()解析：解法1：∵函数y＝lg(x＋1)的图象过点(0,0)，故反函数图象过点(0,0)，排除A、B、C，选D.解法2：函数y＝lg(x＋1)的反函数为y＝10x－1，故选D.答案：D分析:观察图象知应从其对称性入手,由于ab=1,a>0,∴b>0,可据此进行讨论.解析：∵a>0且a≠1，ab＝1，∴b>0.又y＝loga|x＋b|的图象关于x＝－b对称，故排除A、C.由B、D知－b<－1，∴b>1，∵ab＝1，∴0<a<1.故选B.答案：B答案：CA．①与③B．①与④C．②与③D．②与④答案：D答案：D[例5]设0<a<1，函数f(x)＝loga(a2x－2ax－2)，则使f(x)<0的x取值范围是()A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－∞，loga3)D．(loga3，＋∞)解析：∵0<a<1∴loga(a2x－2ax－2)<0