苏州大学本科生毕业设计(论文)矩阵的对角化学生姓名：马莉莹指导老师：朱广俊数学科学学院，2008级，数学与应用数学（师范）我们知道属于特征值的特征向量满足，即它们满足如下条件：（4-9）若将矩阵的特征向量作为列向量所组成的阶方阵记为，则等式（4-9）可以表示为（4-10）其中是一个对角矩阵，且主对角线上的元素为特征值；即，（4-11）已经证明了属于不同特征值的特征向量是线性无关的（定理4-1）.所以，当互不相同时，矩阵是非奇异的.当在等式（4-10）两边同时乘以，可得到（4-12）因此，通过特征向量所组成的矩阵和它的逆，我们能将特征值互异的矩阵变成一个主对角线上的元素为其特征值的对角矩阵.等式（4-12）所表示的变换称为矩阵的对角变换.如果矩阵的特征值不是互异的，那么未必可对角化.例如，矩阵不能如（4-12）那样对角化.对于等式（4-12）中的矩阵，称为与对角矩阵相似.一般地，对任意两个同阶方阵和，如果存在一个非奇异的矩阵，使得，则称方阵和是相似的，称由到的变换为相似变换.特别地，若矩阵是一个对角矩阵，且主对角线上的元素均是的特征值，则称矩阵是矩阵的标准形.除了主对角线上的元素的顺序外，该标准形是唯一的.在等式（4-12）中，我们称由矩阵的特征向量构成的矩阵为矩阵的模态矩阵.矩阵的特征向量乘以任意非零常数后仍是该矩阵的特征向量.因此,矩阵的模态矩阵并非是唯一的.例1试判断矩阵和是否是相似的.解：若和相似，则存在一个2阶的可逆矩阵使得；即.令利用矩阵相等可得下面的齐次线性方程组，其中是任意实数，为该齐次线性方程组的解.因此，存在一个可逆矩阵，其中是任意实数.由可得因此矩阵和是相似的.令则且有故与相似.例2证明相似矩阵具有相同的行列式和相同的特征值.解：设和是相似矩阵，则存在一个与和同阶的可逆矩阵，使得.由性质矩阵乘积的行列式等于行列式之积，可得则即和有相同的特征多项式,由此易知:矩阵和有相同的特征方程和特征值.值得注意的是：例2的逆命题不成立.例如矩阵有相同的特征值且，但对于任意2阶可逆矩阵,但,所以矩阵和不是相似的.例3证明对所有自然数有.解：可用数学归纳法来证明该等式：由（4-9）知假设对任意正整数有.由（4-9）得即对所有自然数有（4-13）若是具有个不同实特征值的阶实对称矩阵，则与个不同实特征值对应的特征向量是相互正交的（定理4-5）.若将每一个特征向量通过适当的乘法进行正规化，则由其作为列向量组成的矩阵是一个正交矩阵.我们称用正交模态矩阵作用的变换为正交变换；即矩阵的正交变换为变换，其中是一个正交矩阵.若一个阶实对称矩阵有多个特征值，则我们总能得到个彼此正交的单位向量.我们也能得到与其它特征向量正交的个线性无关的特征向量是一个重特征值对应的特征向量.此外，可取这些特征向量两两正交.我们假定实对称矩阵的这些性质均是成立的，而它的有关证明则将留在更有深度的线性代数文本中去讨论.定理4-6每一个实对称矩阵均可通过正交变换化为标准型.定理4-6有时也称为主轴定理.我们将在本章的后段部分讨论该定理在解析几何中的应用.例4设.试求将矩阵变换为标准形的正交矩阵.解：的特征方程是；由此可得的特征值，.与特征值对应的特征向量为与特征值对应的特征向量为因此将矩阵变换为标准形的正交矩阵为即