可以对角化的矩阵（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）§7.6可以对角化的矩阵设是数域上维向量空间的一个线性变换。如果存在的一个基，使得关于这个基的矩阵具有对角形式（1）那么就说，可以对角化。类似地，设是数域上阶矩阵。如果存在上一个阶可逆矩阵，使得具有对角形式（1），那么就说矩阵可以对角化。由7.4看到，维向量空间的一个线性变换可以对角化的充分且必要的条件是，可以分解为个在之下不变的一维子空间的直和。然而一维不变子空间的每一个非零向量都是的属于某一本特值的本征向量，所以上述条件相当于说，在中存在由的本征向量所组成的基。定理令是数域上向量空间的一个线性变换。如果分别是的属于互不相同的本征值的本征向量，那么线性无关。推论设是数域上向量空间的一个线性变换，是的互不相同的本征值。又设是属于本征值的线性无关的本征向量，，那么向量线性无关。推论7.6.3令是数域上向量空间的一个线性变换。如果的特征多项式在内有个单根，那么存在的一个基，使关于这个基的矩阵是对角形式。推论7.6.4令是数域上一个阶矩阵。如果的特征多项式在内有个单根，那么存在一个可逆矩阵，使定理令是数域上维向量空间的一个线性变换，可以对角化的充分且必要的条件是（i）的特征多项式的根都在内；（ii）对于的特征多项式的每一个根，本征子空间的维数等于的重数。推论7.6.6设是数域上一个阶矩阵。可以对角化的充分必要条件是（i）的特征根都在内；（ii）对于的每一个特征根，秩这里是的重数。可对角化矩阵的应用两例1Fibonacci数列研究的矩阵方法在预备知识§3的例6中．我们已经证明了著名的Fibonacci数列0,1,1,2,3,5,8,13,…的通项公式，同学们自然会问，这个公式是如何发现的？下面利用矩阵特征值、对角化工具来回答这个问题，并求．这个数列的递推关系为，k=0，1，2，…(1)初始条件为．令因为，所以．(2)取，则(2)式成为．(3)由(3)式得出．(4)于是，欲求Fibonacci数列的通项公式，只要计算，我们利用A的相似简化来计算．A的特征多项式为||=，它的两个根：，，是A的特征值．因此A可对角化．解齐次线性方程组得到它的一个基础解系．同理可得的一个基础解系是．令，则．于是(5)从(4)式及初始条件得．(6)比较(6)式两边的第2个分量得．(7)这就是Fibonacci数列的通项公式．容易算出：．(8)以上极限的近似值0.618在最优化方法中有重要应用．一些实际问题常常可归结为求目标函数y=f(x)在区间[a，b]上的最大值(或最小值)，其中y=f(x)的解析表达式并不知道．假定y=f(x)在[a，b]上只有一个极值点(否则可将区间[a，b]划分)，这时称y=f(x)是单峰函数．为了求单峰函数y=f(x)在[a，b]上的最大值点，可以在区间[a，b]的若干点上做试验求出函数值，再比较函数值的大小．如何选取这些试验点，使得所做试验次数比较少，又能迅速找出最大值点？可采用如下的优选方法：第一个试点t1=a+0.618(b－a)，第二个试验点=a+0.382(b－a)，即是点t1关于区间[a，b]中点的对称点，比较与，若>，则由于y=f(x)是单峰函数，其最大值点不可能出现在区间[a，]里，从而可以去掉[a，]，剩下区间[，b]．第三个试验点t2=+0.618(b－)，第四个试验点=+0.382(b－)．比较f(t2)与f()，如果f(t2)<f()，则去掉区间[t2，b]，剩下区间[，t2]．依次进行下去，当剩下的区间长度比指定的正数小时，就取剩下区间的中点作为所要求的点，称它为最优点(与真正的最大值点很接近的点)．上述方法称为0.618法，也称为黄金分割法．它的优点是可以迅速缩短搜索区间，以便找出最优点．2某地区居民色盲遗传情况的研究每一个人都有46个染色体．染色体是成对的，有22对是常染色体，一对是性染色体．男性的一对性染色体是(X，Y)；女性的一对性染色体是(X，X)．基因位于染色体上，因此基因也是成对的．在一对染色体的某一点位上的一对基因称为两个等位基因．显性的基因用A表示，隐性的基因用a表示．色盲基因是隐性的，且只位于X染色体上．一个女性居民若她的一对性染色体的某一点位P上的两个等位基因是XaXA(包括XAXa这一情形，以下同)或XaXa，则她患色盲，其中Xa表示色盲基因．若她的点位P上的两个等位基因是XAXA，则她不患色盲．设N个女性居民中有N1个人的点位P上的两个等位基因是XAXA，N2个人的点位P上的两个等位基因是XAXa，N3个人点位P上的两个等位基因是XaXa．则这N个女性居民中色盲基因的频率为．(