1预备知识：非线性方程(组)的求解第一种方法：Newton迭代法1.原理：设xk方程f(x)=0的一个近似根，将f(x)在xk处作Taylor展开，f(x)»f(xk)+-f¢(xkk)()xx以线性方程f(xk)+f¢(xkk)(xx-=)0代替非线性方程f(x)=0,若fx¢(k)0¹，则其解为fx()x=xk-=k(0,1,2,)Lkk+1fx¢()k-1若x为二元变量，则其解为xk+1=-xk[J(xkk)]fx()æö¶f¶¶ff111Lç÷¶x¶¶xxç÷12nç÷¶f¶¶ff222L其中为矩阵，即ç÷¶x¶¶xxJ(x)JacobiJx()=ç÷12nç÷MMOMç÷ç÷¶fn¶¶ffnnç÷Lèø¶x12¶¶xxn22.Newton迭代法的几何意义以f¢(x0),为斜率做过(x00fx())点的直线，即作f()xx在点0的切线方程y-f(x0)=-f¢(x00)(xx)令y=0则得此切线与xx轴的交点，1即x1=-x0f(x00)fx¢()再作f()x的xx12处的切线，得交点，逐步逼近方程的根a，如右图33.Newton迭代法的程序（以方程组为例，程序名：Newtons.R）Newtons=function(fun,x,ep=1e-5,it_max=100){index=0;k=1while(k<=it_max){x1=x;obj=fun(x);x=x-solve(obj$J,obj$f);norm=sqrt((x-x1)%*%(x-x1))if(norm<ep){index=1;break}k=k+1}obj=fun(x);list(root=x,it=k,index=index,FunVal=obj$f)}4ïìF=xx22+-=10例：求解非线性方程组112í22îïF2=xx12++=0.50>model<-function(x){f=c(F1=x[1]^2+x[2]^2-1,F2=x[1]^2-x[2]^2+0.5)J=matrix(c(2*x[1],2*x[2],2*x[1],-2*x[2]),2,byrow=T)list(f=f,J=J)}>Newtons(model,c(1,1))$root#方程根的近似值F1F20.50000000.8660254$it#迭代次数[1]5$index#指标为1时表明计算成功，为0时表明计算失败[1]1$FunVal#在近似点处的函数值，接近于0F1.F1F2.F16.661338e-164.440892e-165第二种方法：一元方程的根的求解，可使用函数uniroot()；方程组的根的求解，可使用程序包rootSolve中的multiroot()函数求解。(要注意的是，安装程序包后要用函数library()载入至内存)句法：uniroot(f,interval,lower=min(interval),upper=max(interval),tol=.Machine$double.eps^0.25,maxiter=1000,...)其中，f为所求方程的函数；interval是包含有方程根的初始区间；lower是初始区间的左端点；upper是初始区间的右端点；tol是计算精度；maxiter是最大迭代次数（缺省值为1000）6multiroot()函数的用法句法：multiroot(f,start,maxiter=100,rtol=1e-6,atol=1e-8,ctol=1e-8,useFortran=TRUE,positive=FALSE,jacfunc=NULL,jactype="fullint",verbose=FALSE,bandup=1,banddown=1,...)其中，f为所求方程的函数，用向量表示；start为初始点；ctol为计算的精度，若两次迭代的值小于这个精度时，则计算结束。>model<-function(x){$rootc(F1=x[1]^2+x[2]^2-1,[1]0.50000000.8660254F2=x[1]^2-x[2]^2+0.5)$f.root}F1F2>ss<-multiroot(f=model,start=c(1,1))2.323138e-082.323308e-08>ss$iter[1]5$estim.precis[1]2.323223e-087点估计T设总体X分布由有限个未知参数=(θ1,θ2,…,θm)决定，记为Fθ，称可能取值的范围为参数空间Θ