§2参数估计‹#›/50（ch7）数理统计《第六章》§2参数估计‹#›/50点估计问题的实际背景某工厂生产了一大批产品,从中随机抽检了n件产品,发现有k件次品,如何估计整批产品的次品率p？从该批产品中任取一件，令1,该产品为次品X0,该产品为好品按题设，从总体X~b(1,p)抽取了容量为n的样本XXX12,,,Ln由辛钦大数定律有1nkPXXip(n)ni1n故可用pˆX作为未知参数p的估计。数理统计《第六章》§2参数估计‹#›/50某电子产品的寿命服从指数分布X~EXP(),其概率密度是x1ex,0,fx()(0)0,x0,现从这批产品中随机抽取10件，测得其寿命值分别为XXX12,,,10试问怎样估计该批电子产品的平均寿命？产品的平均寿命为xE(X)xf(x)dxxedx0因为D(X)2EXEX()(),D(X)nn故可用样本均值ˆX作为总体均值的估计。数理统计《第六章》§2参数估计‹#›/50设总体X~F(x；)，其中F的函数形式为已知，为未知参数，为来自总体的样本。XXX12,,,nX构造一个统计量ˆ(,,,),XXX12n用统计ˆ量观察值(,,,)x12xxn作为未知参数的估计值.称ˆ为的(,,,)XXX12n估计量ˆ二重性称(,,,)x12xxn为的估计值依据什么原理求未知参数的点估计？数理统计《第六章》§2参数估计‹#›/50设总体,为未知参数,X~F(x；12,,,)k12,,,kXXX12,,,n为来自总体X的样本。设下列总体矩都存在：iiE(X),i1,2,,k由辛钦大数定律有n1iiPAijXE(X)i(n)nj1故当n很大时，可认为iAiiE(X),i1,2,,ki注意到iEX()是通过X的分布计算的，故ii(12,,,k),ik1,2,,数理统计《第六章》§2参数估计‹#›/50令1(1,2,,k)A12(,,,)12kA2Mk(,,,)12kAk这是一个包含k个变量12,,,k的方程组，解得ˆˆ11(AAA1,2,,k)ˆˆ(AAA,,,)2212kMˆˆkkk(AAA12,,,)ˆˆˆ称(,,,)12k为(,,,)12k的矩估计量.数理统计《第六章》§2参数估计‹#›/50设XXX12,,,n为Poisson分布总体XP~()(0)的样本，求未知参数的矩估计。总体一阶矩和样本一阶矩分别为n1EXXX(),ni矩的阶数等于i1未知参数个数令X,求得的矩估计为ˆX.设XXX12,,,n为来自总体X~EXP()(0)的样本，求未知参数的矩估计.总体一阶矩和样本一阶矩分别为样本均值Xn1是总体均值EXXX(),nii1EX()令X,求得的矩估计为ˆX.的矩估计数理统计《第六章》§2参数估计‹#›/50设总体X的均值和方差分别为EX(),2DX()2XXX12,,,n为总体的样本，求未知参数,的矩估计.nnn11222Q(XiX)[Xi2XXinX]ni1ni1i1n122XXi一阶矩的ni1故令平方对应Xn222122EXEXXX()[()]ini1解得,2的矩估计分别为ˆX,ˆ22S二阶矩对应2设XXX12,,,n为来自总体XN~(,)的样2本，则未知参数,的矩估计分别为ˆX,ˆ22S数理统计《第六章》§2参数估计‹#›/50设XXX12,,,n为来自均匀分布总体X~U(a,b)的样本，求未知参数a,b(ab)的矩估计.QE(X)(ab)/2,D(X)(ba)/122故令(ab)/2Xab2X22(ba)/12Sba23S求得a,b的矩估计分别为样本二阶