理学院数学091本华允潮10数学091本091一、双曲线的第一定义:双曲线的第一定义:到两个定点的F到两个定点的F1,F2的距离之差的绝对值是的点的轨迹.常数(小于|F|)的点的轨迹常数(小于|F1F2|)的点的轨迹.定点叫焦两焦点之间的距离叫焦距.点,两焦点之间的距离叫焦距.注意M（1）2a<2c；F1F2（2）2a>0；（3）双曲线是两支曲线二、双曲线的标准方程:双曲线的标准方程:xy?2=12ab22焦点是(-c,0)和(c,0)c,0)和焦点是MMF2yx?2=12aby22(0,-c)和(0,-c)和(0,c)yF1OF2xOxF1其中c其中c2=a2+b2标准方程xy?2=12aby22y2x2?2=12abyF1图形焦点坐标范围对称性顶F1OF2xOF2x(-c,0)和(c,0)c,0)和x≥a或x≤-ax≥a或x≤a,0)和A1(-a,0)和A2(a,0)(0,-c)和(0,-c)和(0,c)y≥a或y≤-ay≥a或y≤(0,-a)和A1(0,-a)和A2(0,a)坐标轴是对称轴;原点是对称中心,叫双曲线的中心.坐标轴是对称轴;原点是对称中心,叫双曲线的中心.点AA叫实轴,BB叫虚轴,且|AA|=2a,|BB|=2b12叫实轴,12叫虚轴,1212bby=±xx=±y渐近线aae=c（e>1,且e决定双曲线的开口程度,越大开口越阔）离心率ae>1,且决定双曲线的开口程度,越大开口越阔）三、双曲线的第二定义:双曲线的第二定义:到定点的距离和到定直线的距离之比是常数e(e>1)的点的轨迹的点的轨迹.e(e>1)的点的轨迹.定点是焦点,定直线叫准线,且常数是离心率.定点是焦点,定直线叫准线,且常数是离心率.标准方程22准线方程2焦半径xya?2=1x=±2abc22|ex0±a|2yxa?2=1y=±2abc|ey0±a|四、等轴双曲线:等轴双曲线:1.定义:实轴长与虚轴长相等的双曲线.1.定义:实轴长与虚轴长相等的双曲线.定义焦点在x轴上)2.标准方程:2.标准方程:(1)x2-y2=a2(焦点在x轴上)标准方程(2)y2-x2=a2(焦点在y轴上)焦点在y轴上)结论:等轴双曲线的方程可写成:结论:等轴双曲线的方程可写成:3.离心率:3.离心率:e=离心率4.渐进线方程:4.渐进线方程:渐进线方程x2-y2=m2y=±x参数方程xy的参数方程为:双曲线2?2=1的参数方程为:ab22?x=asecθ（θ为参数）??y=btanθ重要结论xy双曲线2?2=1的焦点到相应的顶点ab22之间的距离为:之间的距离为:c?axy的焦准距(双曲线2?2=1的焦准距(焦点到相应ab22ab=准线的距离)长为:准线的距离)长为:c?cc22重要结论xyc的离心率为:双曲线系2?2=λ(λ>0)的离心率为:e=ababxy的渐近线为:双曲线系2?2=λ(λ≠0)的渐近线为:y=±xaba2222xy的焦点为:双曲线系2+22=1的焦点为:(±c,0)aa?c22【基础练习一】求满足条件的双曲线的标准方程:基础练习一】求满足条件的双曲线的标准方程:5(1)顶点在轴上,两顶点的距离为6,顶点在y(1)顶点在y轴上,两顶点的距离为6,e=;3y2x29164(2)焦点在轴上,焦距为16,焦点在x(2)焦点在x轴上,焦距为16,e=;?=15(3)过(3)过(-6,0),e=;322xy(4)以椭圆的焦点为顶点,顶点为焦点;(4)以椭圆+=1的焦点为顶点,顶点为焦点;2249yx(5)过(5)过(2,3),e=322xy?=13664xy?=13628222;y?x=5225?4=1基础练习二】【基础练习二】x2y2?=1上一点P到一个焦(1)已知双曲线上一点P(1)已知双曲线9166点的距离是10,到相应的准线的距离是____.10,则点的距离是10,则P到相应的准线的距离是____.x2y2?=1左支上点P到右焦点(2)已知双曲线左支上点P(2)已知双曲线9163的距离是11,到左准线的距离是____.11,则的距离是11,则P到左准线的距离是____.9(3)已知M到P(5,0)的距离与它到直线x=的距(3)已知MP(5,0)的距离与它到直线已知55,求M的轨迹方程.的轨迹方程.x2y2离之比为39?16=1xy(4)如果方程表示双曲