内容索引基础落实•必备知识全过关知识点1函数1.变量观点的定义如果在一个变化过程中,有两个变量x和y,对于变量x的每一个值,变量y都有唯一确定的值和它对应,那么y就是x的函数,其中x是自变量,y是因变量.2.集合语言的定义名师点睛1.A,B都是非空数集,因此定义域(或值域)为空集的函数不存在.2.函数定义中强调“三性”,任意性、存在性、唯一性.即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x,在集合B中都有(存在性)唯一(唯一性)确定的元素y与之对应.这“三性”只要有一个不满足,便不能构成函数.3.符号y=f(x)是“y是x的函数”的数学表示,不能认为“y等于f与x的乘积”,应理解为:x是自变量,f是对应关系(可以是解析式、图象、表格,也可以是文字描述).4.函数符号f(x)表示的对应关系与字母f无关,也可以用g,F,H等表示;同样,自变量x也可以用t,m,n等表示.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)人的身高和体重之间是函数关系.()(2)函数的定义域和值域一定是无限集合.()(3)在函数的定义中,集合B是函数的值域.()知识点2同一个函数由函数定义知,由于函数的值域由函数的定义域和对应关系来确定,这样确定一个函数就只需两个要素:定义域和对应关系.因此,定义域和对应关系为“y是x的函数”的两个基本条件,缺一不可.只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才是同一个函数.名师点睛自变量和因变量用什么字母表示与函数无关,不影响两个函数的关系.两个函数的关系是通过检验两个函数的定义域和对应关系是否相同来确定的.只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才是同一个函数,这就是说:(1)定义域不同,两个函数也就不同;(2)对应关系不同,两个函数也是不同的.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)y=x+1与y=t+1不是同一个函数.()(2)f(x)=()2与g(x)=x是同一个函数.()(3)y=f(x),x∈R与y=f(x+1),x∈R可能是同一个函数.()2.如果两个函数的定义域和值域分别相同,这两个函数一定是同一个函数吗?重难探究•能力素养全提升答案(1)B(2)D规律方法1.根据图形判断对应是否为函数的方法(1)任取一条垂直于x轴的直线l;(2)在定义域内平行移动直线l;(3)若直线l与图形有且只有一个交点,则是函数;若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数.2.判断一个对应是否为函数的方法变式训练1(1)若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是()(2)已知集合M={-1,1,2,4},N={1,2,4},其中能构成从M到N的函数的是()A.y=x2B.y=x+1C.y=x-1D.y=|x|规律方法求函数的定义域时,常有以下四种情况:变式训练2(2)由-1<x<2,得-1<2x+1<5,∴f(x)的定义域为(-1,5).(3)由(2)知f(x)的定义域为(-1,5),由-1<x-1<5,得0<x<6,∴f(x-1)的定义域为(0,6).规律方法求复合函数或抽象函数的定义域应明确以下几点:(1)函数f(x)的定义域是指x的取值范围所组成的集合.(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围,而不是φ(x)的取值范围.(3)f(t),f(φ(x)),f(h(x))三个函数中的t,φ(x),h(x)在对应关系f下的取值范围相同.(4)已知f(x)的定义域为A,求f(φ(x))的定义域,其实质是已知φ(x)的取值范围为A,求出x的取值范围.(5)已知f(φ(x))的定义域为B,求f(x)的定义域,其实质是已知f(φ(x))中的x的取值范围为B,求出φ(x)的取值范围,此取值范围就是f(x)的定义域.变式训练3已知函数f(x)的定义域为[-1,2],则函数y=的定义域为.规律方法函数求值问题的解法(1)已知函数的解析式求函数值,将自变量的值代入解析式即可求出相应的函数值.当自变量的值为包含字母的代数式时,将代数式作为一个整体代入化简求解.(2)已知函数解析式及某一函数值,求与函数值对应的自变量的值(或解析式中的参数值),只需将函数值代入解析式,建立关于自变量(或参数)的方程求解即可,注意函数的定义域对自变量取值的限制.变式训练4规律方法判断两个函数是否表示同一个函数的两个步骤变式训练5下列各组函数:答案⑤规律方法求函数值域的常用方法(1)观察法:通过对解析式的简单变形和观察,利用熟知的基本函数的值域,求出函数的值域.(2)配方法:若函数是二次函数形式,即可化为y=ax2+bx+c(a≠0)型的函数,则可通过配