课后素养落实(二十一)单调性的定义与证明(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列命题中真命题的个数为()①定义在(a，b)上的函数f(x)，如果∃x1，x2∈(a，b)，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，那么f(x)在(a，b)上单调递增；②如果函数f(x)在区间I1上单调递减，在区间I2上也单调递减，那么f(x)在区间I1和I2上就一定是减函数；③∀x1，x2∈(a，b)且x1≠x2，当eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0时，f(x)在(a，b)上单调递减；④∀x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2，当(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0时，f(x)在(a，b)上单调递增．A．1B．2C．3D．4B[①是假命题，“存在”“无穷多个”不能代表“所有”“任意”；由f(x)＝eq\f(1,x)，可知②是假命题；∵eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0等价于[f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)<0，而此式又等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx1－fx2>0，,x1－x2<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx1－fx2<0，,x1－x2>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx1>fx2，,x1<x2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx1<fx2，,x1>x2，))∴f(x)在(a，b)上单调递减，③是真命题，同理可得④也是真命题．]2．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是()A．函数在区间[－5，－3]上单调递增B．函数在区间[1,4]上单调递增C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D．函数在区间[－5,5]上没有单调性C[由题图可知，f(x)在区间[－3,1]，[4,5]上单调递减，单调区间不可以用并集“∪”连接，故选C．]3．如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b的取值范围为()A．b＝3B．b≥3C．b≤3D．b≠3C[函数f(x)＝x2－2bx＋2的图像是开口向上，且以直线x＝b为对称轴的抛物线，若函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b≤3，故选C．]4．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，a，b∈R且a＋b≤0，则下列选项正确的是()A．f(a)＋f(b)≤－[f(a)＋f(b)]B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)C．f(a)＋f(b)≥－[f(a)＋f(b)]D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)D[因为a＋b≤0，所以a≤－b或b≤－a，又函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．故选D．]5．已知f(x)＝eq\r(x)－eq\r(1－x)，则()A．f(x)max＝eq\r(2)，f(x)无最小值B．f(x)min＝1，f(x)无最大值C．f(x)max＝1，f(x)min＝－1D．f(x)max＝1，f(x)min＝0C[f(x)＝eq\r(x)－eq\r(1－x)的定义域为[0,1]，因为f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)max＝1，f(x)min＝－1．]二、填空题6．函数f(x)＝eq\f(1,x)在[1，b](b>1)上的最小值是eq\f(1,4)，则b＝________.4[因为f(x)＝eq\f(1,x)在[1，b]上是减函数，所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝eq\f(1,b)＝eq\f(1,4)，所以b＝4.]7．若函数f(x)＝eq\f(1,x＋1)在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________．[－1，＋∞)[函数f(x)＝eq\f(1,x＋1)的单调递减区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)，又f(x)在(a，＋∞)上单调递减，所以a≥－1．]8．已知f(x)在定义域内是减函数，且f(x)>0，在其定义域内下列函数为单调增函数的是________．①y＝a＋f(x)(a为常数)；②y＝a－f(x)(a为常数)；③y＝eq\f(1,fx)；④y＝[f(x)]2.②③[f(x)在定义域内是减函数，且f(x)>0时，－f(x)，eq\f(1,fx)均为递增函数，故选②③.]三、解答题9．判断函数f(x