2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义【知识提炼】1.向量的加法(1)定义：_____________的运算.(2)法则：___________和_______________.(3)规定：对于零向量与任意向量a，规定a+0=0+a=a.2.向量加法的运算律(1)交换律：a+b=b+a.(2)结合律：(a+b)+c=a+(b+c).【即时小测】1.思考下列问题.(1)两个向量相加结果可能是一个数量吗？提示：不能，实数相加结果是数，而向量具有方向，所以相加的结果是向量.(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加，这种说法对吗？提示：这种说法是不正确的.向量既有大小又有方向，在进行向量相加时，不仅要确定长度还要确定向量的方向.2.对任意四边形ABCD，下列式子中不等于的是()【解析】选C.A中，，B中，，C中，，D中，3.如图，在正六边形ABCDEF中=______.【解析】根据正六边形的性质，对边平行且相等，我们容易得到答案：【知识探究】知识点1向量的加法观察图形，回答下列问题：问题1：三角形法则和平行四边形法则的使用条件有何不同？问题2：共线向量怎样进行求和？问题3：当涉及多个向量相加时，运用哪个法则求解？【总结提升】1.对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的三点说明(1)两个法则的使用条件不同.三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和.(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的.(3)在使用三角形法则时要注意“首尾相连”，在使用平行四边形法则时需要注意两个向量的起点相同.2.向量求和的多边形法则(1)已知n个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和，这称为向量求和的多边形法则.即(2)首尾顺次相接的若干向量求和，若构成一个封闭图形，则它们的和为0.知识点2向量加法的运算律观察图形，回答下列问题：问题1：向量加法的交换律中向量b可以是零向量吗？问题2：向量加法的平行四边形法则适合任意两个向量相加，这种说法对吗？问题3：向量加法的交换律和结合律对多个向量还成立吗？【总结提升】1.对向量加法交换律的说明在图1中的平行四边形ABCD中，，则故a+b=b+a.即向量加法满足交换律.当向量a，b至少有一个为零向量时，交换律显然成立，当a，b为非零向量且共线时，(1)当a，b同向时，向量a+b与a同向，且|a+b|=|a|+|b|；向量b+a与b同向，且|b+a|=|b|+|a|，故a+b=b+a.(2)当a，b反向时，不妨设|a|>|b|，a+b与a同向，且|a+b|=|a|-|b|；b+a与a同向，且|b+a|=|a|-|b|，故a+b=b+a.2.对向量加法的结合律的说明在图2中，所以=(a+b)+c，=a+(b+c)，从而(a+b)+c=a+(b+c).即向量加法满足结合律.3.向量加法运算律的推广向量加法的交换律和结合律对多个向量仍然成立，恰当地使用运算律可以实现简化运算的目的.如在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合进行.如(a+b)+(c+d)=(a+d)+(b+c).【题型探究】类型一向量的加法及几何意义【典例】如图1，图2，图3所示，求作向量和.【解题探究】典例图1中a与b有何关系，图2两向量相加可采用哪种方法进行？图3三向量相加可采用哪种方法进行？提示：图1中向量a与向量b共线，图2中两向量相加可采用三角形法则或平行四边形法则进行.图3中三向量相加可采用三角形法则或平行四边形法则进行.【解析】如图中(1)，(2)所示，首先作=a，然后作=b，则=a+b.方法一：(三角形法则)：如图(3)所示，作=a，=b，则=a+b，再作=c，则=(a+b)+c，即=a+b+c.方法二：(平行四边形法则)：由于a，b，c不共线，如图(4)所示．在平面内任取一点O，作=a，=b，以为邻边作▱OADB，则对角线=a+b，再作=c，以为邻边作▱OCED.则=a+b+c.【方法技巧】作向量和的法则选取策略(1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”.即n个向量首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量.(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合.(3)当两个向量不共线时，两个法则实质上是一致的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半，在多个向量的加法中，利用三角形法则更为简便.【变式训练】如图，已知向量a，b，c，求作向量a+b或a+b+c.【解析】①方法一：在平面内任意取一点O