2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理【知识提炼】1.平面向量基本定理2.两向量的夹角(1)定义：作向量=a，=b，则_________________________叫做向量a与b的夹角.(2)特例：①θ=0°，向量a，b_____.②θ=90°，向量a，b_____.③θ=180°，向量a，b_____.【即时小测】1.思考下列问题.(1)任意两个向量都可以作为基底吗？提示：不能.若e1∥e2，则e1=λe2，对于任一向量a=a1e1+a2e2=(a1λ+a2)e2，所以a与e2共线，即只能表示与其共线的向量，所以作为基底的向量不能共线.(2)平面向量的基底是唯一的吗？提示：不是.平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底，当基底一旦确定后，平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示.2.当向量a与b共线时，则这两个向量的夹角θ为()A.0°B.90°C.180°D.0°或180°【解析】选D.当向量a与b共线，即两向量同向时夹角θ=0°，反向时夹角θ=180°.3.设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是()A.e1与e2B.e1+e2与2e1+2e2C.e1与2e2D.e1+e2与e2【解析】选B.由于e1与e2不共线，所以e1与2e2不共线，e1+e2与e2不共线，故都可以作为基底，而2e1+2e2=2(e1+e2)，所以e1+e2与2e1+2e2共线，故不能作为基底.4.若a，b不共线，且la+mb=0(l，m∈R)，则l=________，m=________.【解析】因为0=0·a+0·b且a与b不共线，又0=la+mb，所以根据平面向量基本定理，可知l=m=0.答案：00【知识探究】知识点1平面向量基本定理观察图形，回答下列问题：问题1：判断两个向量能否作为基底的关键是什么？问题2：平面向量基本定理与向量的线性运算有何关系？【总结提升】1.对平面向量基本定理的两点说明(1)作用和意义平面向量基本定理告诉我们，平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的.(2)基底的性质：①不共线性平面内两个不共线的向量才可以作为一组基底，基底不同，表示也不同.由于零向量与任何向量共线，所以零向量不可以作为基底.②不唯一性对基底的选取不唯一，平面内任一向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的.2.平面向量基本定理与向量共线定理的联系由平面向量共线定理可知，任意一个向量可以用一个与它共线的非零向量来线性表示，而且这种表示是唯一的，故平面向量基本定理是向量共线定理从一维到二维的推广.知识点2两向量的夹角观察图形，回答下列问题：问题1：平面中任意两个向量都可以平移至公共起点，它们存在夹角吗？问题2：若存在夹角，向量的夹角与直线的夹角一样吗？两向量的夹角与直线的夹角范围有何不同？【总结提升】对向量的夹角的两点说明(1)向量夹角的几何表示：依据向量夹角的定义，两个非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点，这样它们所成的角才是向量的夹角.(2)注意事项：①向量的夹角是针对非零向量定义的.②向量的夹角与直线的夹角范围是不同的，它们分别是[0，π]和【题型探究】类型一对平面向量基本定理的理解【典例】1.(2015·黄石高一检测)已知平行四边形ABCD，下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是()2.如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是()①a=λe1+μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a=λe1+μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线，则④若实数λ，μ使得λe1+μe2=0，则λ=μ=0.A.①②B.②③C.③④D.②3.设向量e1与e2不共线，若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2，则实数x，y的值分别为()A.0，0B.1，1C.3，0D.3，4【解题探究】1.典例1中两个向量可以作为基底的条件是什么？提示：两个向量可以作为基底的条件是两向量不共线.2.典例2中，平面向量基本定理应关注哪些要点？提示：(1)只要是同一平面内两不共线的向量都可以作为一组基底，所以基底不唯一，λ1，λ2唯一.(2)零向量与任意向量都共线，因此零向量不能作为基底.3.典例3中求x，y的依据是什么？提示：向量相等的条件.【解析】1.选D.由于与不共线，所以是一组基底.2.选B.由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向