10.1两个计数原理1.完成一件事，有n类办法，在第１类办法中有m1种不同的方法，在第２类办法中有m2种不同的方法，，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=①_____________种不同的方法.4.如果完成一件事需要分成n个步骤，其中每一步均⑤________这件事，只有依次完成所有步骤才能完成这件事，求完成这件事的方法种数就用⑥________原理，它可用物理中的“串联”电路来理解，是一种乘法原理.盘点指南：①;②;③任一种方法；④分类计数；⑤不能完成；⑥分步计数十字路口来往的车辆，如果不允回头，共有种行车路线（）A.24B.16C.12D.10解：起点有C41种可能，终点有C31种可能，因此，行车路线共有C41C31=12种.从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有()A.8种B.12种C.16种D.20种解：有2个面不相邻即有一组对面，所以选法为C31C41=12种.某城市的电话号码，由六位升为七位(首位数字均不为零)，则该城市可增加的电话部数是()A.9×8×7×6×5×4×3B.8×96C.9×106D.81×105解：电话号码是六位数字时，该城市可安装电话9×105部，同理升为七位时为9×106，所以可增加的电话部数是9×106-9×105=81×105.1.某中学高三年级有三个班，01班有学生50人，其中男生30人；02班有学生60人，其中男生30人；03班有学生55人，其中男生35人.(1)从这三个班中选一名学生任学生会主席，求共有多少种不同的选法？(2)从01班或02班的男生中，或从03班的女生中选一名学生任学生会学习部长，求共有多少种不同的选法？解：(1)分三类：从01班选1名有50种；从02班选1名有60种；从03班选1名有55种.由分类计数原理，共有不同的选法50＋60＋55＝165(种).(2)分三类：从01班男生中选1名有30种；从02班男生中选1名有30种；从03班女生中选1名有20种.由分类计数原理，共有不同的选法30＋30＋20＝80(种).点评：利用分类进行计数时，主要是找到一个分类的标准.有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“不重不漏”，求得的各类方法数的和就是最后的方法总数.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？解：根据题意，将十位数上的数字分别为1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成八类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.由分类计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7+6+5+4+3+2+1＝36个.2.用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求共有多少种不同的涂色方法？解：分四步：涂A有5种方法；涂B有４种方法；涂C有3种方法；涂D有3种方法(D与A可以同色).由分步计数原理，共有5×4×3×3=180(种).点评：分步计数就是把一件复杂的事件划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当全部步骤完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键.从计数上来看，各步的方法数的积就是事件的方法数.(2)分三步：每位旅客都有4种不同的住宿方法,由分步计数原理,共有4×4×4=64(种).(3)分四步：四个人中的任意一人先取1张，有3种取法；由前一人取走的贺卡的供卡人取１张，有3种取法；由余下的两人中的任一人取，只有一种取法；最后一人取，只有一种取法.由分步计数原理，共有3×3×1×1＝9(种).3.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如图).现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有种.(用数字作答).解法1：从题意来看，6部分种4种颜色的花，又从图形看，知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求.(1)②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有N1=4×3×2×2×1=48种；(2)③与⑤同色，则②④或④⑥同色，所以共有N2=4×3×2×2×1=48种；(3)②与④且③与⑥同色，所以共有N3=4×3×2×1=24种.所以，共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120种.解法2：记颜色为A、B、C、D四色，先安排1、2、3有4×3×2种不同的栽法，不妨设1、2、3已分别栽种A、B、C，则4、5、6栽种方法共5种，由以下树状图清晰可见.根据分步计数原理，不同的栽种方法有N=4×3×2×5=120种.点评：解法1是常规解法，解法2安排4、5、6时又用了分类和列举的方法.复杂事件的计数问题需要用到两种计数原理，一般采用的是先分类，后分步，各步中又可能涉及到分类，注意两