第二章函数的奇偶性与周期性函数奇偶性的判断点评如本题中(4)，判断f(x)＋f(－x)＝0是否成立，要方便得多．本题(3)是分段函数判断奇偶性，分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数．分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)是否成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．函数奇偶性的应用点评函数的周期性【解析】因为f(x＋6)＝f[3＋(x＋3)]＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝6.又116.5＝19×6＋2.5，所以f(116.5)＝f(2.5)＝f(－2.5)＝2×(－2.5)＝－5.点评【变式练习2】已知函数f(x)(x∈R)的图象经过原点，且f(x＋2)＝f(x＋5)，求f(2010)的值．函数的奇偶性、周期性的综合点评【变式练习4】f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋3)＝f(3－x)．若x∈(0,3)时，其解析式为y＝x2＋1，求x∈(－6，－3)时，函数f(x)的解析式．【解析】因为f(x)在R上是奇函数，所以f(6＋x)＝f[3＋(3＋x)]＝f[3－(3＋x)]＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x＋6)．当x∈(－6，－3)时，x＋6∈(0,3)，所以f(x＋6)＝(x＋6)2＋1，则f(x)＝－x2－12x－37(x∈(－6，－3))．1.若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝_________【解析】由f(－1)＝f(1)，得0＝2(1－a)，所以a＝1.3.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为________【解析】方法1：因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝－f(－0)＝－f(0)，所以f(0)＝0，所以f(6)＝－f(4)＝f(2)＝－f(0)＝0.方法2：因为f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．又因为f(0)＝－f(－0)＝－f(0)，所以f(0)＝0，所以f(6)＝f(2)＝－f(0)＝0.4.已知f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x＋log2x，求函数f(x)的解析式．5.已知函数f(x)对一切x、y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求证：f(x)是奇函数；(2)若f(－3)＝a，用a表示f(12)．1．函数的奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．因此，判断函数的奇偶性，一要看定义域是否关于原点对称；二要看f(x)与f(－x)的关系．2．判断函数奇偶性的方法一般有两种：一是定义法，步骤：看定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数；若对称，则看解析式能否化简，能够化简的，一定要化简解析式；看f(x)与f(－x)的关系，可以直接观察，也可以用定义的变形式；二是图象法，作出图象，根据图象的对称性得出结论，一般分段函数的奇偶性的判断多用图象法．3．奇函数f(x)如果在x＝0处有意义，则必有f(0)＝0，即奇函数的图象若与y轴有交点，则交点一定是原点．4．如果一个函数既是奇函数又是偶函数，则这个函数的函数值恒为0，且定义域关于原点对称．5．函数的周期性亦是函数在其定义域上的整体性质，它反映了函数值周期变化的规律．值得注意的是周期函数不一定存在最小正周期．注意以下几个常用结论：