2007线性代数试卷2007年线性代数试卷2007年11月一．填空题（每小题3分，共15分）?0??01．设A=?0??4?003702691??5?，则A=8??0??C．α1+α2+α3,2α1?3α2+22α3,2α1+3α2+α3,3α1+5α2?5α3；,3α1+α2+2α3D．α1+2α2+3α3。3．设A是3阶方阵，且A=1，A*是A的伴随矩阵，则（A）24。A．A*C.A*3*A+7A?1|=2500()*=A；=A?1；B.A*()11*=A*；*()*D．A*11()=AT2．设A为三阶方阵，且A=2，则|。n11n?11??3．设A是m×n阶矩阵，A的秩r(A)=r(r<m,r<n)，则齐次线性方程组Ax=θ的基础解系所含解向量的个数是n-r。38，4．设3阶方阵A的特征值是1，2，3，则A的伴随矩阵2A+6A*的特征值是22，184．设Dn=1?1A．n!；n?2?。1，则Dn=（C）1?1?1???n(n?1)2n(n+1)D．2。B．；225．设二次型f(x1,x2,x3)=2x12?3x2+5x3+2x1x2?4x2x3，则二次型f的系数矩阵C．(n?1)!；为?2?10????1?3?2??0?25???5．设A,B都是n阶方阵，且A与B相似,则（D）。A．λE?A=λE?B；B．A与B有相同的特征值和特征向量；C．A与B都相似于一个对角矩阵；D．对任意常数t,tE?A与tE?B相似三．计算题（共54分）1114918271213二．选择题（每小题3分，共15分）?102???1．设A是3×3矩阵，且r(A)=2，又B=?030?，?405???则rBAB=（B）。T（本题8分）计算行列式：D4=1．。()141664A．1；B.2；C.3；D.不确定解：D4=11010312813152.设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组中线性无关的是(D)。A．α1?α2,α2?α3,α3?α1；,α1+α2；11=307266326815=026==121242726630122423123B．α1+2α2+α3,α2+α3?250???2．（本题10分）设A,B为3阶方阵，已知A=?110?，并且A,B满足：?00?1???A*BA=E+A?1，求矩阵B。∵A=|A|A**-1?λ11??1λ1解：?11λ???1??11λ??λ??1λ1→λ2??λ11??????λ2??λ?1?????11λ??0λ?11?λ→?2?01?λ1?λ??λ2??λ?λ2?1?λ3????1∴（A）=A|A|*-1-1-1∴B=（A）（E+A）A=-11-1-1A（E+A）A|A|?1?1λλ2??1?λλ(1?λ)??0λ?1→?0(1?λ)(2+λ)(1+λ)2(1?λ)???0????∴（1）λ≠-2且λ≠1时，方程组有唯一解。11=（A+E-1）A-1=（E+A-1）|A||A|（2）λ=-2时，方程组无解。250|A|=110=300?11???3?1?250??1???A-1=?110?=?3?00?1??0???????20???9???10??=????9?1???0??????5?0?9?10?9?00???53?023?0??0???1????x=1?x?x23?1?（3）λ=1时，有无量多解，通解：?x2=x2??x3=x3???15?????100??33121∴B=??010?+???3?3??3??001??00??????2???12??4．（本题12分）求卣?A=?2?1?2?特征值与特征向量。?2?2?1???解λ+1-2-2(1)λE?A=-2λ+12=λ3+3λ2?9λ+5=(λ?1)2(λ+5)=0-22λ+1∴特征值为λ1=1,λ2=?5?λx1+x2+x3=1?3．（本题14分）设方程组?x1+λx2+x3=λ,试问λ分别为何值时?2?x1+x2+λx3=λ当λ=-5时(1)方程组有唯一解；(2)方程组无解；(3)方程组有无穷多解,并求出通解表示式。2??4-2-2??22-4??224??1???????λI?A=?-2-42?→?-2-42?→?0-2-2?→?0?22-4??-4-2-2??022??0???????特