考试之星网www.kaoshistar.com2009年基础班讲课提要-------概率统计仅供学习,禁止外传第五讲多元正态分布的相关问题；极限定理1.多元（二元）正态分布1.1定义回顾1.2多维正态分布的相关问题重要结论：（1）设X~N(μ,σ2)，则Y=aX+b~N(aμ+b,a2σ2)（a,b为常数，a≠0）；（2）设Xi~N(μi,σi2)i=1,2,L,n，且X1,L,Xn相互独立，若a1,L,an是一组不全为零的常数，则∑aiXi~N(∑aiμi,∑ai2σi2)；i=1i=1i=1nnn（4）设X~N(μ,σ2)，则k?σk(k?1)!!k为偶数E[(X?μ)]=?k为奇数0??σk(k?1)!!k为偶数k?kk2k+11E(|X?μ|)=πσ2Γ(2)=?1kk2k?1?πσ2(2)!k为奇数?例1(03-4-2(6))设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们不相关，则(A)X和Y一定独立.(B)（X，Y）服从二维正态分布.(C)X和Y未必独立.(D)X+Y服从一维正态分布例2设(X,Y)服从二维正态分布N(μ1,μ1,σ12,σ12,ρ),求相关系数.2009年清华大学-1-www.kaoshi（i）a1X1+a2X2~N(a1μ1+a2μ2,a1σ1+2a1a2ρσ1σ2a1,a2不全为零；（ii）当σ1=σ2时，X1+X2与X1?X2相互独立。22star?σ12μ=(μ1,μ2)，协方差矩阵为Σ=??ρσσ?12ρσ1σ2??，且有2σ2??.c为任意m×1阵，则CX+D服从m元正态分布N(Cμ+D,CΣCT)；特别，当2X=(X1,X2)T服从二元正态分布N(μ1,μ2,σ12,σ2,ρ)时，此时，X的期望向量om（3*）若X=(X1,L,Xn)服从n元正态分布N(μ,Σ)，而C为任意m×n阵，DT22+a2σ2)【C】【ρ】版权所有考试之星网www.kaoshistar.com2009年基础班讲课提要-------概率统计仅供学习,禁止外传例3设X1,X2iid,~N(0,σ2),令Y1=X1?1X2,Y2=1X1?X2,问Y1和Y2同分22布吗?独立吗?5【Y1,Y2~N(0,σ2)】4例4设X1,X2,L,Xniid,~N(μ,σ2),求E(∑k=1|Xk?X|),其中X=1∑k=1Xk.nnn?【利用性质4，并注意到Xk?X~N(0,nn1σ),22n(n?1)πσ】例5(00-1-2(5))设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则随机变量ξ=X+Y与η=X?Y不相关的充分必要条件为A）EX=EY;C)EX2=EY2;【D】B)D)EX-(EX)=EY-(EY);EX2+(EX)2=EY2+(EY)2;2222www.例7(07-1-10)设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x),fY(y)分别表示X，Y的概率密度，则在Y=y的条件下，X的条件概率【A】密度fXY(xy)为（A）fX(x)(C)fX(x)fY(y)22例8设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(0,0,σ12,σ2,ρ),其中σ12≠σ2,令U=Xcosα+Ysinα,V=?Xsinα+Ycosα2ρσσ证明:当tg2α=212时,U和V相互独立.2σ1?σ2【提示：先求出(U,V)的联合密度函数fU,V(u,v)，由于变换是正交变换，所以2009年清华大学kaos(B)fY(y)f(x)(D)XfY(y)hi例6(00-1-2(5))设X和Y的方差存在且大于0，则随机变量D(X+Y)=D(X)+D(Y)是X和Y【C】A)不相关的充分条件,但不是必要条件;B）独立的必要条件,但不是充分条件;C）不相关的充分必要条件;D）独立的充分必要条件.star-2-.com版权所有考试之星网J=1，www.kaoshistar.com2009年基础班讲课提要-------概率统计仅供学习,禁止外传fU,V(u,v)=fX,Y(ucosα?vsinα,usinα+vcosα)12πσ1σ21?ρ2cos2α?2ρ=exp{?1[Au2?2Buv+Cv2]}22(1?ρ)+sin2α2σ2其中A=B=C=cosαsinασ12σσ1221σ1σ2;cosαsinα2σ2cosαsinαsin2α?ρsin2α?cos2ασ1σ2σ1σ2+2σ2?;+2ρcosαsinαcos2α2★Xn→X??ε>0,li