.高等数学课后习题及参考答案（第一章）习题111设A(5)(5)B[103)写出ABABA\B及A\(A\B)的表达式解AB(3)(5)AB[105)A\B(10)(5)A\(A\B)[105)2设A、B是任意两个集合证明对偶律(AB)CACBC证明因为x(AB)CxABxA或xBxAC或xBCxACBC所以(AB)CACBC3设映射fXYAXBX证明(1)f(AB)f(A)f(B)(2)f(AB)f(A)f(B)证明因为yf(AB)xAB使f(x)y(因为xA或xB)yf(A)或yf(B)yf(A)f(B)所以f(AB)f(A)f(B)(2)因为yf(AB)xAB使f(x)y(因为xA且xB)yf(A)且yf(B)yf(A)f(B)所以f(AB)f(A)f(B)4设映射fXY若存在一个映射gYX使gfIfgI其中I、XYXIY分别是X、Y上的恒等映射即对于每一个xX有IXxx对于每一个yY有1IYyy证明f是双射且g是f的逆映射gf证明因为对于任意的yY有xg(y)X且f(x)f[g(y)]Iyyy即Y中任意元素都是X中某元素的像所以f为X到Y的满射.又因为对于任意的x1x2必有f(x1)f(x2)否则若f(x1)f(x2)g[f(x1)]g[f(x2)]x1x2因此f既是单射又是满射即f是双射对于映射gYX因为对每个yY有g(y)xX且满足f(x)f[g(y)]Iyyy按逆映射的定义g是f的逆映射5设映射fXYAX证明(1)f1(f(A))A(2)当f是单射时有f1(f(A))A证明(1)因为xAf(x)yf(A)f1(y)xf1(f(A))所以f1(f(A))A(2)由(1)知f1(f(A))A另一方面对于任意的xf1(f(A))存在yf(A)使f1(y)xf(x)y因为yf(A)且f是单射所以xA这就证明了f1(f(A))A因此f1(f(A))A6求下列函数的自然定义域(1)y3x2解由3x20得x2函数的定义域为[2,)33(2)y11x2解由1x20得x1函数的定义域为(1)(11)(1)1(3)y1x2x解由x0且1x20得函数的定义域D[10)(01](4)y14x2解由4x20得|x|2函数的定义域为(22)(5)ysinx解由x0得函数的定义D[0)(6)ytan(x1)解由x1(k012)得函数的定义域为xk1(k01222).(7)yarcsin(x3)解由|x3|1得函数的定义域D[24](8)y3xarctan1x解由3x0且x0得函数的定义域D(0)(03)(9)yln(x1)解由x10得函数的定义域D(1)1(10)yex解由x0得函数的定义域D(0)(0)7下列各题中函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)f(x)lgx2g(x)2lgx(2)f(x)xg(x)x2(3)f(x)3x4x3g(x)x3x1(4)f(x)1g(x)sec2xtan2x解(1)不同因为定义域不同(2)不同因为对应法则不同x0时g(x)x(3)相同因为定义域、对应法则均相相同(4)不同因为定义域不同|sinx||x|8设(x)3求()()()(2)并作出函数y(x)0|x|6443的图形122解()|sin|()|sin|()|sin()|(2)06624424429试证下列函数在指定区间内的单调性(1)yx(