第3讲凸集、凸函数、凸规划凸集---定义凸集---定义凸集---定义凸集---定义例：(1)推论：注：定义设S中任意有限个点的所有凸组合所构成的集合称为S的凸包，记为H(S),即定义锥、凸锥定义分离(Separation)性质定理2.1.5定理2.1.5直观解释我们不妨把一个闭凸集想象为一个三维的充满了气体的气球（不一定为标准球形，但必须是凸的），那么，在气球外一点，到气球各点（包括内部）的距离是不一样的，但直觉告诉我们，肯定在气球上有一点，它到该点的距离是所有距离中最小的。这是凸集的特有性质。如果不是凸集，就不会这样了，比如一个平面上对称心形的图形（它不是凸的）外一点，至少可以找到2点，使其到外面那一点的距离最小。凸集分离定理定理2.1.6凸集分离定理应用---Farkas引理定理2.1.7Farkas引理–几何解释凸集分离定理应用---Gordan定理定理2.1.8凸函数凸函数凸函数f(X)f(X)f(X)f(X)(a)凸函数(b)凹函数例：例：凸函数凸函数凸函数下面的图形给出了凸函数凸函数定理1:该定理的几何意义是：凸函数上任意两点之定理4凸函数凸函数定理5:定理2.3.6:例：凸规划凸规划凸规划定理凸规划的任一局部最优解都是它的整体最优解。证明：设x*是凸规划的一个局部解，则存在δ>0,使例如下非线性规划是否为凸规划：所以，该问题为凸规划。如图所示，该问题最优解（最小点）在x*点取得。例验证下列（MP）是凸规划作业