3x+1猜想循环问题的一个证明（中国新疆广播电视大学）（2013.07.17）苏法王摘要：对3x+1猜想的循环问题进行了论证，证明了对于任意正整数实施3x+1操作，如果存在循环，只能有唯一的一类循环。关键词：数论猜想特殊数列，级数数学方法1、引言随便取一个正整数x,我们实施如下操作：如果x是偶数，那么我们将x除以2,得到新的数x/2；如果x是奇数，那么我们将x乘以3再加上1，得到新的数3x+1。接着我们再将这个新的数施行上述同样的操作，以此类推下去,总会得到1，这就是著名的3x+1猜想。这个猜想是一个相当棘手的数学问题，许多数学家进行了认真的研究，但都没有取得成功。于是人们把这个猜想分成几个问题来研究，比如：1.1用实际计算实施验证，看能否找到反例？目前3x+1猜想已经被检验x=112589990684262400，都没有发现反例，而且这个记录被不断刷新[1]。1.2、对任意正整数x实施3x+1操作，到达1的总长度是否有限？已经知道的数2234047405400065的总长度为1871，这是目前为止已知的总长度最长的一个数[2]。1.3、对任意正整数x实施3x+1操作，是否总会到达1？数学家们已经证明，存在一个常数c和一个整数n，当n足够大的时候，在比n小的x中，能够在达到1的个数大于等于nc,目前c=0.81[3]。11.4、除了4,2,1这一完整循环，是否还存在其他循环？已经证明如果这样一个循环存在的话，那么它的长度应该大于102225496[4]。从上述研究中，我们看到，人们对3x+1猜想的研究基本还停留在具体数字的计算验证阶段，从理论上解决上述问题中的一个，都将会极大的推动该问题的研究进程。笔者运用一个简单的工具，解决了问题1.4，虽然离解决3x+1猜想还有一定距离，但为解决这个猜想提供了新思路。本文要证明1.5、定理A设x1为任意整数，对其实施3x+1操作，如果S为有循环数列，0x0不可能有xk1的循环数。1.6、定理B：设x01为任意整数，对其实施3x+1操作，产生的数列中，除了4,2,1这个完整循环，不存在其他循环。2、引理为了叙述方便，我们对一些概念做一些约定：2.1、3x+1操作:任取一个正整数x,实施如下操作,如果x是偶数，那么x除以2,得到新的数x/2；如果x是奇数，那么x乘以3再加上1，得到新的数3x+1,连续实施该项操作,称之为3x+1操作.2.2、起始数：3x+1猜想要求总有一个正整数作为开始操作的起始数，这个数可以为偶数，也可以为奇数。起始数记作x0，可以约定为x01为奇数。这样的约定不影响研究结果。对于这个约定，后面还要给出证明。2.3、循环：以x0为起始数，对其实施3x+1操作，所产生的数列中，其前面某项与后面某项相同时，叫一个循环，记作xijx。比如说：2722113417522613402010516421421中，44,22,11分别是三个不同的循环，。2.4、循环数：以x0为起始数，对其实施3x+1操作，所产生的数列中，如果存在循环xijx，则xi叫做循环数，记作xi。把xijx之间的循环数xii12,xx...j叫做完整循环数，记作xii,xx21...j比如说：722113417522613402010516421421中，44,22,11是三个不同的循环，4,2,1分别是三个不同的循环数。11之间的循环数4,2,1叫做完整循环数，记作4,2,1。2.5、去偶函数：如果某个数为偶数,通过连续除以2,使其最终变为奇数的函数，叫5去偶函数，记作x.比如说：21，60152.6、S数列：以x1为起始数,对其实施31x操作，产生一个数列,将其中的奇数x00组成的数列,叫S数列,记作Sxxxx,,,...，x为奇数，0ji为自然数。我们x0x0012ij规定，起始数x为奇数，直接作S数列首项，x为偶数，则以x作S数列首项。0x000x0同时规定，如果S数列是一个有循环数列，相同的循环数只能取一次。比如说：x0722113417522613402010516421421421中循环数1只能取一次，所以S7,11,17,13,5,17(1)S数列的项数有限,称之为S有限数