数学通报2007年第46卷第4期一个几何猜想的导数证明顾汉忠(江苏省张家港市乐余高级中学215600)1问题的提出①式表明扇形弧上的正方形顶点G的位置，即0=《数学通报》2005年第5期载文《扇形内的内接LAOG的大小变化为正方形EFGH的面积函数正方形》.文章在介绍了扇形的内接正方形的几何S(B)的自变量.由S=S(B)=I才}“，在d0EF中，作法，并讨论得到“中心角为锐角的扇形有且仅有应用余弦定理，并将①式代入得:三个内接正方形”的结论之后，进一步研究，提出如}EF}2=}(E12+!OF}2一2}OEI·!OF·cosa下猜想:=t2+材+耐tanga一2tmseca·Cosa1二，在半径一定，中心角为锐角的扇形中剪出一块号一了-一气一弓一一--丁于11一sin(2a一20)十cost0一cseta一十cosa)“一面积尽量大的正方形，则该正方形一定是这个扇形2cosacosO(cos(a一8)一sin(a一8))]的内接正方形._1厂，.1+cos2B二，。。。、二;，止二一}1十~去竺旦竺+sin(2B一2a)一2cosa2证明过程+si1n2aL一’2·-‘·-、-甘一‘，一__~如图1所示，设扇形CAB的半径〔)A=1，中心os0scin(B一a)一2cosacosOcos(B一a)〕角a(a=乙AOB)为锐角，a为常数.如图1建立坐标_1r,.1+cos2B.。‘，。一下一产-丁一下尸I1T一一一下不一一-rLsinka一alsinusina系，扇形内的正方形EFGH(顺时针方向)的两个顶州卜sir1izaLL点E,F分别在半径OA,OB上，设E(t,0),F(m,2co一sacosOcos(B一a)]mtana)，其中0<t,mC1.二_;气止1;一}「1，+.士1二+会c竺o旦s二2竺B+。sina(，cosa一cos(2B一+s1in2aL一’2’一““、““~一‘、““a))一cosa(cos(28一a))+cosa)I升气1.11cost。一(sina+cosa)cos(2B一a)，~si1nLaL‘，.。1户t二犷ksinz口一乙cos2a)+‘」8E(0,司，扇形中心角a=LAOB为常量,aE(0,圈1因为EFGH为正方形，所以记=对.i(i为虚数单晋’·位).因为亢=(t一m，一mtana)，所以苗=一步考察进0的取值范围.(mtana,;一m)，所以苗=沙+记二(m(1+图2中如甲乙所示，在图2甲中设正方形tana),t+m(tana一1)).EFGH边长为a，因为E,H两点均在半径OA上，所由于顶点G在扇形弧AB上，可令:以FEL04，即〔E=acota，设G(cosOl,sing,)，则coseto够=一一a一一，即B,=arctantanaIMO+tana)-(o<0毛a)a州卜acota1+tans'It+m(tana一1)=sing_cosacc时sina+coca图“在乙中，设LAOC一音，则正方形cos(a一B)一sin(a一B)E'F'G'H‘及扇形OAB均关于半径OC轴对称.设正sina+cosy方形E'F'G'H‘边长为b，乙AOG'=Bz，则tan(B2一2007年第46卷第4期数学通报sin(28-a+a);即(2sina十coca)sin(20-a)簇cos(28互a2-十普)即82=2一a)sina,口门广二犷COT几“犷一1，b~r.‘。_[a_n__下a犷’乙‘乙因为一普<20-a<要，所以cos(20-a)>0,“而2sina-I-coca>0，所以有tan(20一a)1+2tan要sinaanat乙2sina+cosa1+2tanaanat+冬.所以“<告arctan1+2tana乙人。a.1anat气犷伪=花犷界卜几不arctan，则当口E[01,乙乙1+2tana00〕时，S,(0)<0，即有S(0)在〔01,00〕上单调递减;同理当0E[06,02〕时，S'(B)妻。，即有S(0)在[00,02〕上单调递增.图2面证明。下<0,<00<02<要.因为正方形EFGH有且仅有一条边在半径OA’四~月一、咐、叨~叮~2.上与有且仅有一边在半径OB上，地位相同，且关于，。~。tans，1tana1一Vrd,=arctan-=一<之七分arctan‘一扇形〔AB之中心角/AOB的平分线〔℃轴对称，所一一‘1十tana一乙1十乙tana+a2-=80，令p=tana，则p>。，只要2arctanP以当扇形内的正方形有至少三点E,F,G在扇形周1十p界上时的点G的对应圆心角LAOG，即0的取值