水不撩不知深浅2024年全国高中数学联赛福建赛区预赛暨2024年福建省高中数学竞赛试卷(考试时间:2024年6月22日上午9:00-11:30,满分160分)一、填空题(共10小题,每小题6分,满分60分.请直接将答案写在题中的横线上)1在△ABC中,已知AB=4,BC=2,AC=23,若动点P满足CP=1,则AP⋅BP的最大值为.【答案】5【解答】取AB中点O,则111AP⋅BP=PA⋅PB=PA+PB2-PA-PB2=2PO2-BA2=PO2-×42=PO2-4444由AB=4,BC=2,AC=23,知AB2=CA2+CB2,于是CA⊥CB.1所以CO=AB=2.2又CP=1,所以PO的最大值为CO+1=3.所以AP⋅BP的最大值为32-4=5.2已知z,z,z为方程z3=-i的三个不同的复数根,则zz+zz+zz=.123122331【答案】0【解答】设z=x+yi x,y∈R为方程z3=-i的复数根,则z3=x+yi3=x3+3x2yi+3xyi2+yi3=-i.即x3+3x2yi-3xy2-y3i=-i,x3-3xy2+3x2y-y3i=-i.33x=x=-x3-3xy2=0x=02232由x,y∈R,得,解得1,,.3x2y-y3=-1y=1111y=-y=-22323131于是z=i, z=-i, z=--i.12223223131所以z+z=-i+--i=-i,23222231311313zz=-i--i=-i2-2=--=-1.2322222244因此zz+zz+zz=zz+z+zz=i×-i-1=0.122331123233设a=66⋯6,b=33⋯3,则a,b的最大公约数为.⏟⏟10个66个3【答案】33【解答】用x,y表示正整数x,y的最大公约数.则a,b=66⋯6,33⋯3=33⋯3,33⋯3=311⋯1,11⋯1.⏟⏟⏟⏟⏟⏟10个66个310个36个310个16个1人不拼怎知输赢·1·水不撩不知深浅设m=11⋯1, n=11⋯1,⏟⏟10个16个1则由m=11⋯1=104×11⋯1+1111,可知m,n=1111,11⋯1.⏟⏟⏟10个16个16个1同理可得,m,n=1111,11⋯1=11,1111=11,11=11.⏟6↑1所以a,b=3m,n=33.4某校三个年级举办乒乓球比赛,每个年级选派4名选手参加比赛.组委会随机将这12名选手分成6组,每组2人,则在上述分组方式中每组的2人均来自不同年级的概率为.64【答案】385【解答】设三个年级为甲、乙、丙.C2C2C2C2C2C212名选手随机分成6组,每组2人的分组方式有:12108642=11×9×7×5×3×1种.A66下面考虑每组的2人均来自不同年级的分组情形.先考虑甲年级4名选手的配对方式:由于每组2人均来自不同年级,因此需从乙,丙两个年级中每个年级各取2名选手与甲年级的4名选手配对.故有C2×C2×A4=36×24种方式.444再考虑余下4人的配对方式,此时乙、丙年级各有2人,其分组方式有2×1种.所以每组的2人均来自不同年级的分组方式有36×24×2种.36×24×264所以每组的2人均来自不同年级的概率为=.11×9×7×5×3×13855如图,在棱长为6的正方体ABCD-ABCD中,点E,F1111317分别为AB,BC的中点,点G在棱CC上.若平面EFG与底面ABCD所成角的余弦值为117,则平面EFG截正方体ABCD-ABCD所得截面多边形的周长为.1111【答案】613+32【解答】如图,以D为原点,射线DA,DC,DD分别为x轴,y轴,(第5题图)z轴非负半轴建立空间1直角坐标系.人不拼怎知输赢·2·水不撩不知深浅(第5题答题图)则E6,3,0,F3,6,0.设G0,6,t,则EF=-3,3,0,EG=-6,3,t.设m=x,y,z为平面EFG的一个法向量,则m⋅EF=-3x+3y+0=0,于是m=t,t,3为平面EFG的一个法向量.m⋅EG=-6x+3y+tz=0317又n=0,0,1为平面ABCD