2020年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题参考答案一.填空题(本题共12道小题,每小题5分,共60分)1.数列{a}是集合{2x+2y+2z|0≤x<y<z,x,y,z∈Z}中的数从小到大排成的数列,n则a=(用2a+2b+2c的形式表示);2020_________________解:令f(x,y,z)=2x+2y+2z,因f(21,22,23)是第C3=2024项,所以24a=f(17,22,23)=217+222+223.20202.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)和一次函数y=ax+b满足:当|x|≤1时,|f(x)|≤1且y=ax+b有最大值2.则函数f(x)=.__________________解:由a>0时y=ax+b递增,知当-1≤x≤1时,y=a+b=2.由|x|≤1时,|f(x)|≤1最大及0,1∈[-1,1],得|c|≤1,|a+b+c|≤1,又a+b=2得|2+c|≤1,得-1≤c≤-1即c=-1.b故f(0)=c=-1及|f(x)|≤1知f(x)=-1,所以0,b0,代入a+b=2得a=2,最小2a所以f(x)=2x2-1.13.经过曲线y与y=x2+3x-7交点的圆的方程是;x_______________________xy1y2x7y3解:由交点(x,y)满足,得,相加得x2y22x6y10,yx23x7x2y3x7即(x1)2(y3)220为所求圆的方程.4.设ΔABC中∠A=450,∠B=600,则其外心O到ΔABC三边距离之比;___________raSsin2AA解:O到三边a,b,c距离分别为r,r,r,则aBOC,abcrbSsin2BbAOC所以rcosA,同理rcosB所以r:r:r=cosA:cosB:cosCOab,abcrcosBrcosCCbcB2:2:31;15.正实数a,b,c成等比数列(q≠1),logb,logc,loga成等差数列.则公差d=;abc______b解:设a,c=bq,logb=x-d,logc=x,loga=x+d,则ax-d=b,bx=c,cx+d=a.qabcb()xdb(1)qb2x2d2-1将a,cbq代入得bxbq(2),将(1)×(3)得bq=bq,将(2)代入得qb(bq)xd(3)q3b2q2d+2=b2q-1,即q2d+3=1,因q≠1,所以d.2116.设A,B,C为ΔABC的三个内角,则使得恒成立的实sinAsinB32cosC数λ的最大值是;——————CC11解:因3+2cosC=4cos2+1>0,所以,(4cos21)(),22sinAsinBCC8cos8cosC1122因(4cos21)()2sinAsinBsinAsinB1[cos(AB)cosC]2CC8cos8cos228,等号成立仅当A=B=300,C=1200,所以λ=8.1C最大(1cosC)cos227.随机选取{1,2,…,n}中r(1≤r≤n)个元构成子集的最小数的期望值是.________解:集合M含r个元素的子集共有Cr个,M中以正整数k为最小数的含r个n元素的子集共有Cr1个,其中1≤k≤n-r+1.所以最小数的期望值是nk1Cr12Cr13Cr1(nr1)Cr1n1n2n3r1Crn2(Cr1Cr1Cr1)(Cr1Cr1)Cr1=n1n2r1n2r1r1CrnCrCrCr1Cr1n1=nn1r1n1.CrCrr1nn8.与坐标轴交于三个不同点A,B,C的所有抛物线y=x2+ax+b,ΔABC的外接圆y恒过同一定点;___________D解:设A(x,0),B(x,0),C(0,b),⊙ABC交y轴于D,显然b≠0.12xAOB若A,B在原点两侧,则b<0,由|b||OD|=|xx|=|b|,得12Cy|OD|=1,所以点D(0,1);若A,B在原点同侧,则b>0,D由b|OD|=|xx|=b,仍有点D(0,1).⊙ABC恒过点D(0,1).12CxOAB9.设OABC是边长为1的正四面体，E、F分别为AB与OC的中点.则异面直线OE与BF的距离是;_______