2021年全国高中数学联赛福建预赛试题2021年福建省高中数学竞赛暨2021年全国高中数学联赛〔福建省赛区〕预赛试卷参考答案〔考试时间：2015年5月24日上午9：00－11：30，总分值160分〕一、填空题〔共10小题，每题6分，总分值60分。请直接将答案写在题中的横线上〕1．设集合x4，从集合中随机抽取一Ax0，xZAx3个元素，记，那么随机变量的数学期望。xx2E【答案】5【解答】A4，3，2，1，，01，2，随机变量的取值为0，1，4，9，16。易得，的概率分布列为01491612211P7777712211∴E0149165。777772．，其中是定义在上，最小正周期为f(x)xg(x)g(x)R2的函数。假设f(x)在区间2，4上的最大值为1，那么f(x)在区间10，12上的最大值为。【答案】9【解答】依题意，有f(x2)(x2)g(x2)xg(x)2f(x)2。∵f(x)在区间2，4上的最大值为1，∴f(x)在区间4，6上的最大值为3，在区间6，8上的最大值为5，在区间8，10上的最大值为7，在区间10，12上的最大值为9。x2y23．F、F为椭圆C：1〔ab0〕的左、右焦点，12a2b2假设椭圆C上存在一点P，使得PFPF，那么椭圆离12心率e的取值范围为。【答案】2，12【解答】设为椭圆的上顶点，依题意有。ACFAF9012∴，c。，c21，2。FAO451c2a2c2e12ba2224．实数，，满足，那么的最小xyzx22y23z224x2y3z值为。【答案】12【解答】由柯西不等式，知22222222(x2y3z)(1x22y33z)1(2)(3)(x2y3z)144。x2y3y∴x2y3z12，当且仅当，即xyz2时123等号成立。∴的最小值为。x2y3z125．函数x，数列中，〔〕，f(x)x2cosaaf(n)f(n1)nN*2nn那么数列a的前100项之和S。n100【答案】10200【解答】依题意，有100Tf(n)2242628298210024(3799)100n13994255100。2∴S2Tf(1)f(101)251000010200。1001006．如图，在四面体ABCD中，DADBDC2，DADB，DADC，且DA与平面ABC所成角的余弦值为6。那么该四面体外接球半径3。R【答案】3【解答】如图，作于，连结，并延长交DO面ABCOAO于点，连结。那么是与平面所成的BCEDEDAEDAABC6角，cosDAE。3∵，，，DADBDC2DADBDADC∴DA面DBC，O为△ABC的外心，且ABAC22。∴，为中点，结合6DADEEBCcosDAE3知，，。AE6BEAB2AE2862∴BC2BE22，DBDC。∴DA、DB、DC两两互相垂直，四面体外接球半径。R37．在复平面内，复数z、z、z的对应点分别为Z、Z、12312Z。假设zz2，OZOZ0，zzz1，那么z的取值范围是。312121233【答案】1，3【解答】设zxyi，zxyi〔i为虚数单位〕，111222∵zz2，OZOZ0，∴12，12，x2y2x2y22xxyy011221212。zz(xy)2(xy)2x2y2x2y22(xxyy)212112211221212设复数zz对应的点为P。由zzz1知，点Z在121233以P为圆心，1为半径的圆上。又OP2，因此，21OZ21，即z的取值范围33是1，3。8．函数恰有两个极值点，〔〕，那f(x)ex(xaex)xxxx1212么a的取值范围为。1【答案】(0，)2【解答】。f(x)ex(xaex)ex(1aex)(x12aex)ex依题意，有两个不同的实根。f(x)(x12aex)ex0设，那么，有两个不同g(x)x12aexg(x)