2024年全国高中数学联赛福建赛区预赛暨2024年福建省高中数学竞赛试卷(考试时间:2024年6月22日上午9:00-11:30,满分160分)一、填空题(共10小题,每小题6分,满分60分.请直接将答案写在题中的横线上)1在△ABC中,已知AB=4,BC=2,AC=23,若动点P满足CP=1,则AP⋅BP的最大值为.2已知z,z,z为方程z3=-i的三个不同的复数根,则zz+zz+zz=.1231223313设a=66⋯6,b=33⋯3,则a,b的最大公约数为.⏟⏟10个66个34某校三个年级举办乒乓球比赛,每个年级选派4名选手参加比赛.组委会随机将这12名选手分成6组,每组2人,则在上述分组方式中每组的2人均来自不同年级的概率为.5如图,在棱长为6的正方体ABCD-ABCD中,点E,F1111317分别为AB,BC的中点,点G在棱CC上.若平面EFG与底面ABCD所成角的余弦值为117,则平面EFG截正方体ABCD-ABCD所得截面多边形的周长为.11116对于实数x,y,z,记max{x,y,z}为x,y,z中的最大者,例如:max{1,2,3}=3,max{2,2,9}=9,max{5,5,5}=5.若非负实数a,b满足a+b=9,则maxa2,4b2,2ab的最小值为.933nS7已知S为数列a的前n项和,且S=a-×3n+,则使i<2024成立的最nnn8n88ai=1i大正整数n的值为.8设fx=ax6+ax5+ax4+ax3+ax2+ax+a,其中a∈{-1,1},i=0,1,2,⋯,6.若f2=6543210i-53,则f1=.x29已知A为双曲线C:-y2=1的右顶点,过点A斜率分别为k、k的直线l、l分别与双412126PM⋅PN14曲线C交于另外两点M、N,其中k>0,kk=1.若点P,0满足=,则1125MN225△AMN的面积为.10若x,x,⋯,x是1,2,⋯,100的一个排列,则S=x-x+x-x+⋯+x-x+x-x121001223991001001·1·的最大值为.二、解答题(共5小题,每小题20分,满分100分.要求写出解题过程)x2y211已知F、F分别为椭圆C:+=1 a>b>0的左、右焦点,过点F的直线l交椭圆12a2b22C于A,B两点(点A在第一象限),且AF=5FB,AF=5AF.2212(1)求椭圆C的离心率;24(2)若△FAB的面积为,求点A的坐标.15x+212已知函数fx=-m-2x-lnx+2+1-2m m∈R.ex(1)当m=1时,求fx的最小值;(2)若fx≥0恒成立,求m的取值范围.·2·13如图,O为锐角△ABC外接圆圆心,AD为⊙O的一条直径,H是△ABC的垂心,BE,CF是△ABC的两条高,M是边BC的中点,S是点M关于圆心O的对称点.已知直线EF过点S且与直线BC相交于点T.(1)求证:H,M,D三点共线;(2)求证:A,S,M,T四点共圆;(3)若△ABC外接圆半径为R,求线段AM的长(用R表示).14已知非负实数a,b,c,d,e的和为1.5求证:ab+1+bc+1+cd+1+de+1+ea+1<.2·3·15设正整数n是合数,d,d,⋯,dk≥3是n的全部正因数,且1=d<d<⋯<d=n.对12k12k于2≤i≤k-1,若d∤dd(d不能整除dd),则称d是n的一个“好因数”,若n的ii-1i+1ii-1i+1i“好因数”个数小于n的不同素因子个数,则称n为“好数”.(1)问:16,2024是否为“好数”?(2)求所有的“好数”.·4·2024年全国高中数学联赛福建赛区预赛暨2024年福建省高中数学竞赛试卷(考试时间:2024年6月22日上午9:00-11:30,满分160分)一、填空题(共10小题,每小题6分,满分60分.请直接将答案写在题中的横线上)1在△ABC中,已知AB=4,BC=2,AC=23,若动点P满足CP=1,则AP⋅BP的最大值为.【答案】5【解答】取AB中点O,则111AP⋅BP=PA⋅PB=PA+PB2-PA-PB2=2PO2-BA2=PO2-×42=PO2-4444由AB=4,BC=2,AC=23,知AB2=CA2+CB2,